《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第3章三角恒等变换章末

本课时栏目开关画一画研一研章末复习课画一画·知识网络、结构更完善本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1已知α、β为锐角，cosα＝45，tan(α－β)＝－13，求cosβ的值．研一研·题型解法、解题更高效解∵α是锐角，cosα＝45，∴sinα＝35，tanα＝34.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝139.∵β是锐角，故cosβ＝91050.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课小结给值求值的重要思想是沟通已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，β＝12[(α＋β)－(α－β)]等．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练1已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．研一研·题型解法、解题更高效解tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝130.而α∈(0，π)，故α∈(0，π2)．∵tanβ＝－17，0βπ，∴π2βπ.∴－πα－β0.而tan(α－β)＝120，∴－πα－β－π2.∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝1，∴2α－β＝－3π4.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型二整体换元的思想在三角恒等变换中的应用例2求函数y＝sinx＋sin2x－cosx(x∈R)的值域．研一研·题型解法、解题更高效解令sinx－cosx＝t，则由t＝2sinx－π4知t∈[－2，2]，又sin2x＝1－(sinx－cosx)2＝1－t2.∴y＝(sinx－cosx)＋sin2x＝t＋1－t2＝－t－122＋54.当t＝12时，ymax＝54；当t＝－2时，ymin＝－2－1.∴函数的值域为－2－1，54.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课小结在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来(如例2令sinx－cosx＝t)．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练2求函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，x∈R的最值及取到最值时x的值．研一研·题型解法、解题更高效解设sinx＋cosx＝t，则t＝sinx＋cosx＝222sinx＋22cosx＝2sinx＋π4，∴t∈[－2，2]，∴sinx·cosx＝sinx＋cosx2－12＝t2－12.∴f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx即g(t)＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1，t∈[－2，2]．本课时栏目开关画一画研一研章末复习课当t＝－1，即sinx＋cosx＝－1时，f(x)min＝－1.研一研·题型解法、解题更高效此时，由sinx＋π4＝－22，解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－π2，k∈Z.当t＝2，即sinx＋cosx＝2时，f(x)max＝2＋12.此时，由2sinx＋π4＝2，sinx＋π4＝1.解得x＝2kπ＋π4，k∈Z.综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－π2，k∈Z时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋π4，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝2＋12.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型三转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用例3求证：tan32x－tanx2＝2sinxcosx＋cos2x.研一研·题型解法、解题更高效证明∵左边＝tan32x－tanx2＝sin32xcos32x－sinx2cosx2＝sin32xcosx2－sinx2cos32xcosx2cos32x＝sinx12cos2x＋cosx＝2sinxcosx＋cos2x＝右边．∴tan32x－tanx2＝2sinxcosx＋cos2x.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课小结三角函数式的化简就是通过恒等变换化繁为简．其中切化弦、异名化同名、异角化同角等方法均为转化与化归思想的运用；三角恒等式的证明就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证，也属转化与化归思想的应用．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练3已知cosπ4＋x＝35，17π12x7π4，求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．研一研·题型解法、解题更高效解sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋2sin2x1－sinxcosx＝2sinxcosxcosx＋sinxcosx－sinx＝sin2x1＋tanx1－tanx＝sin2x·tanπ4＋x.∵17π12x7π4，∴5π3x＋π42π，又∵cosπ4＋x＝35，∴sinπ4＋x＝－45.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课∴tanπ4＋x＝－43.研一研·题型解法、解题更高效∴cosx＝cosπ4＋x－π4＝cosπ4＋xcosπ4＋sinπ4＋xsinπ4＝22×35－45＝－210.∴sinx＝sinπ4＋x－π4＝sinπ4＋xcosπ4－sinπ4cosπ4＋x＝－7210，sin2x＝725.∴sin2x＋2sin2x1－tanx＝－2875.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课题型四构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用例4已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝35，sin(A－B)＝15.(1)求证：tanA＝2tanB.(2)设AB＝3，求AB边上的高．研一研·题型解法、解题更高效(1)证明∵sin(A＋B)＝35，sin(A－B)＝15，∴sinAcosB＋cosAsinB＝35sinAcosB－cosAsinB＝15⇒sinAcosB＝25cosAsinB＝15⇒tanAtanB＝2.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课∴tanA＝2tanB.研一研·题型解法、解题更高效(2)解∵π2A＋Bπ，sin(A＋B)＝35，∴tan(A＋B)＝－34，即tanA＋tanB1－tanAtanB＝－34.将tanA＝2tanB代入上式并整理得2tan2B－4tanB－1＝0解得tanB＝2±62，舍去负值，得tanB＝2＋62.∴tanA＝2tanB＝2＋6.设AB边上的高为CD，则AB＝AD＋DB＝CDtanA＋CDtanB＝3CD2＋6，由AB＝3，得CD＝2＋6.∴AB边上的高等于2＋6.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课小结方程(组)思想是中学重要的思想方法之一．借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来求解，也是三角求值中常用的方法之一．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研章末复习课跟踪训练4已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(2－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝825，求cosθ2＋π8的值．研一研·题型解法、解题更高效解m＋n＝(cosθ－sinθ＋2，cosθ＋sinθ)，|m＋n|＝cosθ－sinθ＋22＋cosθ＋sinθ2＝4＋22cosθ－sinθ＝4＋4cosθ＋π4＝21＋cosθ＋π4.由已知|m＋n|＝825，得cosθ＋π4＝725.又cosθ＋π4＝2cos2θ2＋π8－1，本课时栏目开关画一画研一研章末复习课所以cos2θ2＋π8＝1625.研一研·题型解法、解题更高效∵πθ2π，∴5π8θ2＋π89π8.∴cosθ2＋π80.∴cosθ2＋π8＝－45.本课时栏目开关画一画研一研章末复习课本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关画一画研一研