《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修 复数的几何意义

本课时栏目开关填一填研一研练一练§3.3【学习要求】1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义.【学法指导】从数形结合的观点理解复数的几何意义，结合向量理解复数的模；另外也可以把实数和数轴上点的对应关系与实数的绝对值进行类比.本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点§3.31.任何一个复数z＝a＋bi和复平面内一一对应，和以为起点，以为终点的向量OZ→一一对应.2.设z＝a＋bi，则|z|＝a2＋b2.3.两个复数差的模就是复平面内.Z(a，b)原点Z(a，b)与这两个复数对应的两点间的距离本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3探究点一复数与复平面内的点问题1实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应.小结建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3问题2复数与复平面内的点怎样建立对应关系？答案任何一个复数z＝a＋bi，都可以和复平面内的点Z(a，b)一一对应.因此复数集与平面内的点集一一对应.讨论复数对应点在复平面内的位置，可以转化为复数的实虚部满足的条件.一般可以通过列方程或不等式解决.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3例1在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.解复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.(1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.(2)由题意得m2－m－20m2－3m＋20，∴－1m2m2或m1，∴－1m1.(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，故m＝2.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3小结按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3跟踪训练1实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上.解(1)由m2－2m－150，得m－3，或m5，所以当m－3，或m5时，复数z对应的点在x轴上方.(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1，或m＝－52，所以当m＝1，或m＝－52时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3探究点二复数与向量问题1复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？答当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系.问题2怎样定义复数z的模？它有什么意义？答复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是向量OZ→＝(a，b)的模，记作|z|或|a＋bi|.|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2可以表示点Z(a，b)到原点的距离.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3例2已知复数z＝3＋ai，且|z|4，求实数a的取值范围.解方法一∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝32＋a2，由已知得32＋a242，∴a27，∴a∈(－7，7).方法二利用复数的几何意义，由|z|4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知：－7a7.小结利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；利用复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3跟踪训练2求复数z1＝3＋4i，z2＝－12－2i的模，并比较它们的大小.解|z1|＝32＋42＝5，|z2|＝－122＋－22＝32.∵532，∴|z1||z2|.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3探究点三复数加减法的几何意义问题1复数与复平面内的向量一一对应关系，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案如图，设OZ1→，OZ2→分别与复数a＋bi，c＋di对应，则有OZ1→＝(a，b)，OZ2→＝(c，d)，由向量加法的几何意义OZ1→＋OZ2→＝(a＋c，b＋d)，所以OZ1→＋OZ2→与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应复数的加法可以按照向量的加法来进行.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3问题2怎样作出与复数z1－z2对应的向量？答案z1－z2可以看作z1＋(－z2).因为复数的加法可以按照向量的加法来进行.所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图).图中OZ1→对应复数z1，OZ2→对应复数z2，则Z2Z1→对应复数z1－z2.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3例3如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)AO→表示的复数；(2)对角线CA→表示的复数；(3)对角线OB→表示的复数.解(1)因为AO→＝－OA→，所以AO→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA→＝OA→－OC→，所以对角线CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3(3)因为对角线OB→＝OA→＋OC→，所以对角线OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.小结复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3跟踪训练3已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.解方法一设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1，∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝3.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3方法二设O为坐标原点，z1、z2、z1＋z2对应的复数分别为A、B、C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝3.方法三∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效§3.3∴|z1＋z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)－|z1－z2|2＝2(12＋12)－12＝3.∴|z1＋z2|＝3.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处§3.31.在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m的值为________.解析∵z＝(m－3)＋2mi表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝2m，解之得m＝9.9本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处§3.32.已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是_______________.解析∵复数对应的点在第二象限，∴2k2－3k－20，k2－k0，即－12k2，k0或k1.∴k的取值范围为－12，0∪(1,2).－12，0∪(1,2)本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处§3.33.若复数z1＝－1，z2＝2＋i分别对应复平面上的点P、Q，则向量PQ→对应的复数是________.解析∵P(－1,0)，Q(2,1)，∴PQ→＝(3,1)，∴PQ→对应的复数为3＋i.3＋i本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处§3.34.若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________.解析由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴.|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离.∴|z－1|min＝1.1本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处§3.31.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.2.复数的加减法满足向量加减法的平行四边形法则和三角形法则；两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.3.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.本课时栏目开关填一填研一研练一练