北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》立体几何中的向量方法距离问题4

1一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）2二、空间“距离”问题1.空间两点之间的距离根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或(其中)，可将两点距离问题转化为求向量模长问题2aa222zyxa),,(zyxa3例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，BADADAAAB，116011DAABAA11AAADABAC进行向量运算2121)(AAADABAC)(2112122AAADAAABADABAAADAB)60cos60cos60(cos21116所以6||1AC回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。1AC6A1B1C1D1ABCD图14思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？分析:11BBBCBABD6012011BCBABBABC，其中（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么由这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?分析:1111DAABAABADxAAADABaAC，，设11AAADABAC则由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC)cos3(23222xxa即axcos631∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。A1B1C1D1ABCD5（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）分析：面面距离点面距离解：.11HACHAA于点平面点作过.1的距离为所求相对两个面之间则HA111AAADABBADADAABA且由.上在ACH3360cos211)(22ACBCABAC.160cos60cos)(1111BCAAABAABCABAAACAA31||||cos111ACAAACAAACA36sin1ACA36sin111ACAAAHA∴所求的距离是。36问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？A1B1C1D1ABCDH62、向量法求点到平面的距离：如图A,空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为n,且AP与n不共线,能否用AP与n表示d?分析:过P作PO⊥于O,连结OA.则d=|PO|=||cos.PAAPO∵PO⊥,,n∴PO∥n.∴cos∠APO=|cos,PAn|.∴d=|PA||cos,PAn|=|||||cos,|||PAnPAnn=||||PAnn.这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值.nAPO7例2:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.分析:用几何法做相当困难,注意到坐标系建立后各点坐标容易得出,又因为求点到平面的距离可以用法向量来计算,而法向量总是可以快速算出.xyzCGDEFA果断地用坐标法处理.B8例2:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．设平面EFG的一个法向量为(,,)nxyz(2,2,0),(2,4,2),EFEGnEFnEG，2202420xyxyZ11(,,1),33nB(2,0,0)E|BE|211.11ndn答:点B到平面EFG的距离为21111.xyzGCBAEDF9练习(用向量法求距离):1.如图,ABCD是矩形,PD平面ABCD,PDDCa,2ADa,、MN分别是、ADPB的中点,求点A到平面MNC的距离.APDCBMN10解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz则D(0,0,0),A(,0,0),B(,,0),C(0,,0),P(0,0,)2aa2aaa∵、MN分别是、ADPB的中点,∴2(,0,0)2Ma211(,,)222Naaa∴2(,,0)2MCaa,11(0,,)22MNaa,2(,0,0)2MAa设(,,)nxyz为平面MNC的一个法向量,∴,nMNnMC∴202nMCaxay且022aanMNyzAPDCBMNzxy解得22xyz,∴可取(2,1,1)m∴MA在n上的射影长2MAnadn即点A到平面MNC的距离为2a.112．如图3-5，已知两条异面直线所成的角为θ，在直线a、b上分别取E、F，已知A’E=m，AF=n，EF=l，求公垂线AA′的长d.EFEAAAAF解：22()EFEAAAAF2222()EAAAAFEAAAEAAFAAAF,AAEAAAAF=π—θ（或θ），AFEA,22222lEAAAAFEAAF2222cosmdnmn当E,F在公垂线同一侧时取负号当d等于0是即为“余弦定理”2222cosdlmnmn123.异面直线间的距离已知a,b是异面直线，n为的法向量CD为a,b的公垂线A，B分别在直线a,b上则||||nABnCD即间的距离可转化为向量在n上的射影长，21,llCDnbCDABa131111013.4,,2,90,ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB例已知：直三棱柱的侧棱底面中为的中点。求与的距离。).4,2,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,0,0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系),4,2,2(),0,1,1(1BAEC则的公垂线的方向向量为设).,,(,1zyxnBAEC001BAnECn即04220zyxyx取x=1,则y=-1,z=1,所以)1,1,1(n).0,0,1(,,ACAC在两直线上各取点.332||||1nACndBAEC的距离与zxyA1B1C1AEBC14三、小结：1、E为平面α外一点,F为α内任意一点,为平面α的法向量,则点E到平面的距离为:||||nEFnd2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点,是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距离为||||nEFndnn15四、作业布置：课本P121第2、6题五、教后反思：16