分式方程的增根与无解(1)

1分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1解方程2344222xxxx．①解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．例2解方程22321xxxx．解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）．整理得0x＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．例3（2007湖北荆门）若方程32xx=2mx无解，则m=——————．解：原方程可化为32xx=－2mx．方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．解这个方程，得x=3－m．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．2例4当a为何值时，关于x的方程223242axxxx①会产生增根？解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10②若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a为何值时，关于x的方程223242axxxx①无解？此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．例5：（2005扬州中考题）若方程)1)(1(6xx-1xm=1有增根，则它的增根是（）A、0B、1C、-1D、1或-1分析：使方程的最简公分母(x+1)(x-1)=0则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。原方程易化成整式方程：6-m(x+1)=x2-1整理得：3m(x+1)=7-x2当x=-1时,此时m无解；当x=1时,解得m=3。由此可得答案为B。例6：关于x的方程3xx-2=3xm有一个正数解，求m的取值范围。分析：把m看成常数求解，由方程的解是正数，确定m的取值范围，但不能忽略产生增根时m的值。原方程易化为整式方程：x-2(x-3)=m整理得：x=6-m∵原方程有解，故6-m不是增根。∴6-m≠3即m≠3∵x＞0∴m＜6由此可得答案为m的取值范围是m＜6且m≠3。一、分式方程有增根，求参数值例7a为何值时，关于x的方程342xaxx=0有增根？解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得x2-4x+a=0（※）因为分式方程有增根，增根为x=3，把x=3代入（※）得，9-12+a=0a=3所以a=3时，342xaxx=0有增根。例8m为何值时，关于x的方程11x+2xm=23222xxm有增根。解：原方程两边同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得4（1+m）x=3m+4（※）因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为x=1或x=2。把x=1代入（※），解得m=-23；把x=2代入（※）得m=-2所以m=-23或-2时，原分式方程有增根点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程1xk+1=)2)(1(2xx有增根，可求得k=-32，但分式方程这时有一实根x=38。二、分式方程是无实数解，求参数值例9若关于x的方程52xx=5xm+2无实数，求m的值。解：去分母，得x-2=m+2x-10，x=-m+8因为原方程无解，所以x=-m+8为原方程的增根。又由于原方程的增根为x=5，所以-m+8=5所以m=3例10．若解分式方程2111xxmxxxx产生增根，则m的值是（）A.12或B.12或C.12或D.12或分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：xx01或，化简原方程为：21122xmx()()，把xx01或代入解得m12或，故选择D。例11.m为何值时，关于x的方程22432xmxxx会产生增根？解：方程两边都乘以x24，得2436xmxx整理，得()mx1105当时，如果方程产生增根，那么，即或（）若，则（）若，则（）综上所述，当或时，原方程产生增根mxmxxxxmmxmmm11014022121012422101263462说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根例12、解方程：121043323489242387161945xxxxxxxx分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解：由原方程得：3143428932874145xxxx即2892862810287xxxx于是，所以解得：经检验：是原方程的根。1898618108789868108711()()()()()()()()xxxxxxxxxx例13、若解分式方程2111xxmxxxx产生增根，则m的值是（）A.12或B.12或C.12或D.12或分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：xx01或，6化简原方程为：21122xmx()()，把xx01或代入解得m12或，故选择D。练习题1解方程2344222xxxx．2解方程22321xxxx．3（2007湖北荆门）若方程32xx=2mx无解，则m=——————．4当a为何值时，关于x的方程223242axxxx会产生增根？5当a为何值时，关于x的方程223242axxxx无解？7