概率论题库

选择题1．设,,ABC为三个事件，且,AB相互独立，则以下结论中不正确的是（B）（A）若()1PC，则AC与BC也独立.（B）若()1PC，则AC与B也独立.（C）若()0PC，则AC与B也独立.（D）若CB，则A与C也独立.2．设A、B、C为三个事件，()0PAB且(|)1PCAB，则有（B）（A）()()()1.PCPAPB（B）()().PCPAB（C）()()()1.PCPAPB（D）()().PCPAB3.设,则下列结论成立的是（?D）（A）事件A和B互不相容；（B）事件A和B互相对立；（C）事件A和B互不独立；（D）事件A和B互相独立。4.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（A）。A.2242B.2412CCC.24!2PD.!4!25.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为43，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（C）。A.343）（B.41432）（C.43412）（D.22441C）（6.设随机事件A、B互不相容，qBPpAP)(,)(，则)(BAP＝（A）。A.qp)1(B.pqC.qD.p7．设随机变量~(0,1),XNX的分布函数为()x，则(||2)PX的值为（A）（A）2[1(2)].（B）2(2)1.（C）2(2).（D）12(2).8.设随机变量X的概率密度为且~(0,1)YaXbN，则在下列各组数中应取（A）（A）1/2,1.ab（B）2/2,2.ab（C）1/2,1ab.（D）2/2,2.ab9.设随机变量X的分布函数为()XFx，则35YX的分布函数为()YFy（D）（A）(53)XFy.（B）5()3XFy.（C）3()5XyF.（D）31()5XyF.10.已知随机变量X的概率密度为)(xfX，令XY2，则Y的概率密度)(yfY为（D）。A.)2(2yfXB.)2(yfXC.)2(21yfXD.)2(21yfX11.设随机变量)(~xfX，满足)()(xfxf，)(xF是x的分布函数，则对任意实数a有（A）。A.adxxfaF0)(1)(B.adxxfaF0)(21)(C.)()(aFaFD.1)(2)(aFaF12.连续型随机变量X的密度函数f(x)必满足条件（C）。13．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为若,XY独立，则,的值为（A）（A）21,99.（A）12,99.（C）11,66（D）51,1818.14.设随机变量X～N(μ，81)，Y～N(μ，16)，记}4{},9{21YpXPp，则（B）。A.p1p2B.p1＝p2C.p1p2D.p1与p2的关系无法确定15.已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间[－1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则)(XYE（A）。A.3B.6C.10D.1216.设随机变量X,Y相互独立，且均服从[0，1]上的均匀分布，则服从均匀分布的是（B）。A.XYB.（X,Y）C.X—YD.X+Y17.设X，Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则Z=max{X,Y}?的分布函数是（D）A）FZ（z）=max{FX(x),FY(y)};B)FZ（z）=max{|FX(x)|,|FY(y)|}C)FZ（z）=FX（x）·FY(y)D)都不是18.下列二无函数中，可以作为连续型随机变量的联合概率密度的是（B）。A）f(x,y)=cosx,0,x,0y122其他B)g(x,y)=cosx,0,1x,0y222其他C)(x,y)=cosx,0,0x,0y1其他D)h(x,y)=cosx,0,10x,0y2其他19.设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（B）（A）X与Y独立.（B）()DXYDXDY.（C）()DXYDXDY.（D）()DXYDXDY.20．对任意随机变量X，若EX存在，则[()]EEEX等于（C）（A）0.（B）.X（C）.EX（D）3().EX21.设随机变量1~[0,6],~(12,)4XUYB且,XY相互独立，根据切比雪夫不等式有(33)PXYX（）（A）0.25.（B）512.（C）0.75.（D）512.22.设)(x为标准正态分布函数，100,,2,1,0A,1iXi否则。，发生；事件且()0.1PA，10021XXX，，，相互独立。令1001iiXY，则由中心极限定理知Y的分布函数)(yF近似于（B）。A.)(yB．10()3yC．(310)yD．(910)y23．设是来自正态总体的简单随机样本，是样本均值，记则服从自由度为n-1的t分布随机变量为（??D）。24．设),,,(21nXXX为总体)2,1(2N的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是（）。A.)(~/21ntnX；B.)1,(~)1(4112nFXnii；C.)1,0(~/21NnX；D.)(~)1(41212nXnii；25.设总体)2,(~2NX，其中未知，nXXX,,,21为来自总体的样本，样本均值为X，样本方差为2s，则下列各式中不是统计量的是（C）。A.X2B.22sC.XD.22)1(sn26.设xxxn12,,,是一组样本观测值，则其标准差是（B）。A.niixxn12)(11B.niixxn12)(11C.niixxn12)(1D.niixxn1)(127.设X～2(,)N其中已知，2未知，123,,XXX样本，则下列选项中不是统计量的（C）A）123XXXB）123max{,,}XXXC）2321iiXD）1X28.若X～()tn那么2～（A）A）(1,)FnB）(,1)FnC）2()nD）()tn填空题1．设事件BA,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(BPAP，则BA,至少有一个不发生的概率为0.9.2.甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为310.3.设随机变量X在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2XY在区间)4,0(内的概率密度为)(yfY12√𝑦.4.元件的寿命服从参数为1100的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为1−𝑒−5.5.设3{0,0}7PXY，4{0}{0}7PXPY，则{max{,}0}PXY6.用（,XY）的联合分布函数F（x,y）表示P{Xa,b}YF(a,b)7.设随机变量X的概率密度为2,01,()0,xxfx其它,现对X进行四次独立重复观察，用Y表示观察值不大于0.5的次数，则2EY.8.设随机变量X服从[0，2]上均匀分布，则2)]([)(XEXD13。9.设1217,,,XXX是总体(,4)N的样本，2S是样本方差，若2()0.01PSa，则a32.0.（注：20.01(17)33.4,20.005(17)35.7,20.01(16)32.0,20.005(16)34.2）10.设1234,,,XXXX是来自正态总体2(0,2)N的样本，令221234()(),YXXXX则当C12时CY～2(2)。计算题1.甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、0.02、0.01。现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？（1）P(A)=25%×0.03+35%×0.02+40%×0.01（2）P(B)=P(乙|A)=𝑃(乙𝐴)𝑃(𝐴)=0.02×35%𝑃(𝐴)2.一个机床有1/3的时间加工零件A，其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是0.3，加工零件B时停机的概率是0.4。求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A时发生停机的概率。与上题同理。3.某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。求该人如期到达的概率。解：设1A，2A，3A，4A分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示如期到达。则41()()(|)iiiPBPAPBA0.0510.150.70.30.60.50.90.7854.计算：（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.（1）365×364×363×?×(365−𝑟+1)365𝑟（2）1−365×364×363×362)36545.设随机变量X的概率密度为求（1）常数a；（2）X的分布函数()Fx；（3）(13).PX（1）∫(𝑎𝑥+1)𝑑𝑥20=(𝑎2𝑥2+𝑥)|20=1解得𝑎=−2（2）𝐹(𝑥)=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥={∫(−2𝑥+1)𝑑𝑥𝑥0=−𝑥2+𝑥(0≤𝑥≤2)0(其他)𝑥−∞6.设随机变量X的概率密度函数为求（1）A；（2）X的分布函数F(x)；（3）P(0.5X2)。（1）（2）（3）𝑃(0.5𝑋2)=𝐹(2)−𝐹(0.5)=7.已知连续型随机变量X的概率密度为求（1）a；（2）X的分布函数F(x)；（3）P(X0.25)。（1）（2）（3）𝑃(𝑋0.25)=1−𝐹(0.25)8.设二维随机变量(,)XY在区域{(,)|0,0,1}Dxyxyxy上服从均匀分布.求（1）(,)XY关于X的边缘概率密度；（2）ZXY的分布函数与概率密度.（1）𝑓(𝑥,𝑦)={2𝐷0其他𝑓𝑦(𝑦)=∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+∞−∞=∫2𝑑𝑥1−𝑦0=2−2𝑦(0≤𝑦≤1)（2）𝑓𝑥(𝑋)=∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦+∞−∞=∫2𝑑𝑦1−𝑥0=2−2𝑥(0≤𝑥≤1)𝑓𝑧(𝑍)=∫𝑓𝑥(𝑥)𝑓𝑦(𝑧−𝑥)𝑑𝑥+∞−∞=∫(2−2𝑥)[2−2(𝑧−𝑥)]𝑑𝑥10=9.设(,)XY的概率密度为求（1）边缘概率密度(),()XYfxfy；（2）(1)PXY；（3）ZXY的概率密度()Zfz.（1）𝑓𝑥(𝑋)=∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦+∞−∞=∫𝑒−𝑥𝑑𝑦𝑥0=(𝑥0)𝑓𝑦(𝑌)=∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+∞−∞=∫𝑒−𝑥𝑑𝑥+∞𝑦=(𝑦0)（2）∫∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑥00.50+∫∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦1−𝑥010.5（3）𝑓𝑧(𝑍)=∫𝑓𝑥(𝑥)𝑓𝑦(𝑧−𝑥)𝑑𝑥+∞−∞=10.设随机向量（X，Y）联合密度为f(x,y)=.,0;0,0,)32(其它yxAeyx（1）求系数A；（2）判断X，Y是否独立，并说明理由；（3）求P{0≤X≤2，0≤Y≤1}。（1）∫∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+∞−∞𝑑𝑦+∞−∞=∫∫𝐴𝑒−(2𝑥+3𝑦)𝑑𝑥+∞0𝑑𝑦+∞0=1（2）证明：𝑓𝑥(𝑋)=∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦+∞−∞=∫𝐴𝑒−(2𝑥+3𝑦)𝑑𝑦+∞0=(𝑥0)𝑓𝑦(𝑌)=∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+∞−∞=∫𝐴𝑒−(2𝑥+3𝑦)𝑑𝑥+∞0=(𝑦0)∵𝑓(𝑥,𝑦)=𝑓𝑥(𝑋)𝑓𝑦(𝑌)∴𝑋，𝑌