第六章 留数理论及应用

第六章留数理论及应用第一节留数1、留数定理：设函数f(z)在点0z解析。作圆rzzC|:|0，使f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分Cdzzf)(等于零。设函数f(z)在区域Rzz||00内解析。选取r，使0rR，并且作圆rzzC|:|0，那么如果f(z)在0z也解析，则上面的积分也等于零；如果0z是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；这时，我们把积分Cdzzfi)(21定义为f(z)在孤立奇点0z的留数，记作),(Res0zf，这里积分是沿着C按逆时针方向取的。注解1、我们定义的留数),(Res0zf与圆C的半径r无关：事实上，在Rzz||00内，f(z)有洛朗展式：nnnzzzf)()(0，而且这一展式在C上一致收敛。逐项积分，我们有,2)()(10idzzzdzzfnCnnC因此，10),(Reszf。注解2、即f(z)在孤立奇点0z的留数等于其洛朗级数展式中01zz的系数。注解3、如果0z是f(z)的可去奇点，那么.0),(Res0zf定理1.1（留数定理）设D是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C。设f(z)在D内除去有孤立奇点nzzz,...,,21外，在每一点都解析，并且它在C上每一点都解析，那么我们有：),,(Res2)(1knkCzfidzzf这里沿C的积分按关于区域D的正向取。证明：以D内每一个孤立奇点kz为心，作圆k，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从D中除去以这些k为边界的闭圆盘的一个区域G，其边界是C以及k，在G及其边界所组成的闭区域G上，f(z)解析。因此根据柯西定理，,)()(1nkCkdzzfdzzf这里沿C的积分按关于区域D的正向取的，沿k的积分按反时针方向取的。根据留数的定义，得定理的结论成立。2、留数的计算：本节讲述几种常见的情形下，如何计算留数。首先考虑一阶极点的情形。设0z是f(z)的一个一阶极点。因此在去掉中心0z的某一圆盘内（0zz），),(1)(0zzzzf其中)(z在这个圆盘内包括0zz解析，其泰勒级数展式是：00()(),nnnzzz而且0)(00z。显然，在f(z)的洛朗级数中，01zz的系数等于)(0z，因此),()(lim),(Res000zfzzzfzz如果容易求出)(z的泰勒级数展式，那么由此可得00),(Reszf；否则要采用其他方法求留数。如果在上述去掉中心0z的圆盘内（0zz），,)()()(zQzPzf其中P(z)及Q(z)在这圆盘内包括在0zz解析，0)(0zP，0z是Q(z)的一阶零点，并且Q(z)在这圆盘内没有其他零点，那么0z是f(z)的一阶极点，因而).('/)()()()()(lim)()(lim),(Res00000000zQzPzQzQzPzzzfzzzfzzzz例6.1.1、函数,1)(2zezfiz有两个一阶极点iz，这时,21)(')(izezzQzP因此.2),(Res,2),(Reseiifeiif其次，我们考虑高阶极点的情形。设0z是f(z)的一个k阶极点(k1)。这就是说，在去掉中心0z的某一圆盘内（0zz），),()(1)(0zzzzfk其中)(z在这个圆盘内包括0zz解析，而且0)(0z。在这个圆盘内，)(z泰勒级数展式是：00()(),nnnzzz由此可见，,),(Res10kzf因此问题转化为求)(z泰勒级数展式的系数。如果容易求出)(z的泰勒级数展式，那么由此可得10),(Reskzf；否则要采用其他方法求留数。显然，,)!1()(lim)!1()()1(0)1(10kzkzkzzkk因此，我们也可根据下列公式计算),(Res0zf：.)]()[(lim)!1(1),(Res10100kkkzzdzzfzzdkzf例6.1.2、函数,sec)(3zzzf在z=0有三阶极点，则...,!45!211sec)(42zzzz因此.21)0,(Resf由上述公式也可得：.21)sec(lim21)0,(Res33220zzzdzdfzz例6.1.3、函数,)1()(22zzezfiz在z=i有二阶极点。这时,)()(2izzeziz令z=i+t，那么在,)2)(()(2)(titiethiti的泰勒展式中，t的系数就是f(z)在i的留数。写出h(t)中每个因子的到t的一次项，我们有：当|t|1时()1(1...),itieeit...),1(11itiititi...),1(41)21(141)2(122ititti因此当|t|1时，...),31(4)(iteith于是.43),(Reseif由上述公式也可得：.43])([lim),(Res2eizzedzdifiziz第二节留数定理的应用积分的计算：在数学分析中以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂。利用留数计算积分的特点：（1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；（2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；（3）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论。由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。例6.2.1、计算积分20,sintadtI其中常数a1。解：令zeit，那么izdzdtzzit),1(21sin。而且当t从0增加到2时，z按逆时针方向绕圆C:|z|=1一周。因此,1222CiazzdzI于是应用留数定理，只需计算1222iazz在|z|1内极点处的留数，就可求出I。上面的被积函数有两个极点：121aiiaz及122aiiaz。显然1||,1||21zz。因此被积函数在|z|1内只有一个极点1z，而它在这点的留数是：.11222),(Res211aiiazzf于是求得.1211222aaiiI注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如,)cos,(sin20dtttRI的积分，其中R(x,y)是有理分式，并且在圆C:|z|=1上，分母不等于零。例6.2.2、计算积分2201 ,2(1)dxIx解：首先，这是一个广义积分，它显然是收敛的。我们应用留数定理来计算它。考虑函数22)1(1z，这个函数有两个二阶极点，在上半平面上的一个是z=i。作以O为心、r为半径的圆盘。考虑这一圆盘在上半平面的部分，设其边界为rC。取r1，那么z=i包含在rC的内区域内。沿rC取22)1(1z的积分，则有.2412),)1(1(Res2)1()1(222222iiizizdzxdxrrr其中r表示rC上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的。现在估计积分rzdz22)1(。我们有22221||,(1)(1)rdzrzr因此,0)1(lim22rzdzr令r，就得到.2)1(22xdx从而.4)1(2122xdxI注解1、我们计算所得的值是这个广义积分的柯西主值，但由于此积分收敛，所以积分值等于主值。注解2、应用同样的方法，我们可以计算一般形如,)(dxxRI的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次。引理设f(z)是闭区域),0,0(||,210021rzrArgz上连续的复变函数，并且设r是以O为心、r为半径的圆弧在这闭区域上的一段)(0rr。如果当z在这闭区域上时，,0)(limzfz那么我们有.0)(limrdzezfizr证明：设M(r)是f(z)在r上的最大值，则有.)(2)()(|)(|20sin0sinsinrderMrderMrderMdzezfrrtizrr因为当20时，,1sin2所以.20220220sinrderderderrr又因为,0)(limzfz，所以.0)(limrdzezfizr例6.2.3、计算积分02,1cosdxxxI解：取r0，则有,121)1(21cos20202rrixrixixrdxxedxxeedxxx函数12zeiz在0y除去有一阶极点z=i外，在其他每一点都解析。取积分区域如图，而只要取r1。于是我们有2222Re(,),111rixizizrreeedxdisiexzz其中r表示rC上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的。现在应用引理3.1，取2,,0,11)(0212rzzf，那么在这引理中所设各条件显然成立。因此，令r，就得到2lim,1ixrrredxxe从而可见积分I收敛，并且2Ie。注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如,)(dtexfIix的积分，其中f(x)在0Imz上可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且当z在0Imz上时，引理中的条件满足。注解2、上面求出的广义积分也是其柯西主值。注解3、如果函数f(x)在0Imz上可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且在实轴上有孤立奇点，我们也可以计算某些积分，如下例：例6.2.4、计算积分0,sindxxxI解：取r及，使0r，我们有],[22sinrixrixrixixrdxxedxxeidxixeedxxx函数zeiz只是在z=0有一个一阶极点。作积分路径如图，在上半平面上作以原点为心、r与为半径的半圆r与。于是我们有,0dzzedxxedzzedxxeizrixizrixr在这里沿r与的积分分别是按幅角减小与增加的方向取的。现在求当趋近于0时，dzzeiz的极限。当0z时),(1zhzzeiz其中h(z)是在z=0的解析函数。因此,)()(1dzzhidzzhdzzdzzeiz由于，h(z)在z=0的解析，在z=0的一个邻域内，|f(z)|有上界M。于是当充分小时，|()|2,hzdzM从而,lim0idzzeiz令r,0，应用引理3.1，可以得到所求积分收敛，并且2I。第三节辐角原理及其应用亚纯函数的零点与极点的个数、儒歇定理：应用留数定理，我们也可以解决有关零点与极点的个数问题，因为教学时间的关系，我们只介绍儒歇定理，并应用它来决定方程在一些区域内根的个数。儒歇定理：设D是在复平面上的一个有界区域，其边界C是一条或有限条简单闭曲线。设函数f(z)及g(z)在D及C所组成的闭区域D上解析，并且在C上，|f(z)|＞|g(z)|，那么在D上，f(z)及f(z)+g(z)的零点的个数相同。注解1、应用此定理时，我们只要估计和在区域边界上模的值。注解2、选择f(z)及g(z)的原则是，f(z)在区域D内的零点个数好计算。例6.3.1、求方程,012558zzz在|z|1内根的个数。解：令,