利用导数判断函数的单调性

返回3.33.3.1利用导数判断函数的单调性理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二第三章导数及其应用考点三返回返回3．3.1利用导数判断函数的单调性返回我们知道正弦曲线是上、下起伏的波浪线，实际上多数函数的图象都是如此，它们的单调性交替变化．有些函数的单调性通过我们所学的基本方法能够判断，多数函数非常困难甚至无法解决．问题1：如果一条曲线是逐渐上升的，那么曲线上各点的切线的斜率有何特点？提示：从直观上看切线是上升的，切线的斜率都为正数．返回问题2：切线斜率的正负，能说明导数的符号吗？提示：根据导数的几何意义，切线斜率的符号就是导数的符号．问题3：可以用导数来研究较为复杂的函数的单调性吗？提示：可以．返回设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果在(a，b)内，则f(x)在此区间是增函数；(2)如果在(a，b)内，，则f(x)在此区间是减函数．f′(x)0f′(x)0返回1．区间(a，b)也可以是(－∞，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b)．2．在某个区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分不必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)0.3．如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)是常函数，不具有单调性．返回返回[例1]判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．[思路点拨]求导数→对a进行分类讨论→每种情况下确定函数在－∞，＋∞上的单调性返回[精解详析]∵y′＝3ax2，又x2≥0.(1)当a0时，y′≥0，函数在R上单调递增；(2)当a0时，y′≤0，函数在R上单调递减；(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．[一点通]判断函数单调性的方法有两种：(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号确定函数的单调性；(2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③得出结论．返回1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．f(x)＝sinxB．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－xD．f(x)＝lnx－x解析：∵x0，∴(x·ex)′＝x′·ex＋x·(ex)′＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)0，∴f(x)＝x·ex在(0，＋∞)内为增函数．答案：B返回解：f′(x)＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2.当x∈(0，e)时，lnxlne＝1,1－lnx0，x20，∴f′(x)0，f(x)为增函数．当x∈(e，＋∞)时，lnxlne＝1,1－lnx0，x20，∴f′(x)0，f(x)为减函数.2．判断函数f(x)＝lnxx－1在(0，e)及(e，＋∞)上的单调性．返回[例2]求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝12x＋sinx，(x∈(0,2π))；(2)f(x)＝2x－lnx.[思路点拨]求定义域→求导数f′x→解f′x0得增区间→解f′x0得减区间返回[精解详析](1)∵f′(x)＝12＋cosx，∴令f′(x)0得12＋cosx0，即cosx－12，又∵x∈(0,2π)，∴0x23π，或43πx2π.同理，令f′(x)0得，23πx43π.∴该函数的增区间为(0，23π)，(43π，2π)；减区间为(23π，43π)．返回(2)函数的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f′(x)＝2－1x.令2－1x0，解得x12；令2－1x0，解得0x12，∴函数f(x)＝2x－lnx的增区间为(12，＋∞)，减区间为(0，12)．返回[一点通](1)在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，然后在定义域内通过解不等式f′(x)0或f′(x)0，来确定函数的单调区间．(2)当单调区间有多个时，不要写成并集．返回3．函数y＝4x2＋1x的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，1)C．(12，＋∞)D．(1，＋∞)解析：由y′＝8x－1x2＝8x3－1x20，得x12，即函数的单调递增区间为(12，＋∞)．答案：C返回4．求下列函数的单调区间．(1)y＝xex；(2)y＝x3－x.解：(1)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，令y′0得x－1.令y′0得x－1，因此y＝xex的单调递增区间为(－1，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)．返回(2)函数的定义域为R，令y′＝3x2－10，得x－33或x33；令y′＝3x2－10，得－33x33.∴y＝x3－x的单调递增区间为(－∞，－33)和(33，＋∞)，单调递减区间为(－33，33).返回[思路点拨]函数在区间[2，＋∞上单调递增→f′x≥0在区间[2，＋∞上恒成立→利用分离参数或函数性质求解恒成立问题→对等号单独验证说明.[例3]已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．返回[精解详析]f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2.要使f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，即2x3－ax2≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．∵x20，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)时，y＝2x3是单调递增的，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.当a＝16时，只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是(－∞，16]．返回[一点通]已知函数的单调性求参数，可转化为不等式恒成立问题．一般地，函数f(x)在区间Ⅰ上单调递增(递减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间Ⅰ上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围．返回5．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0B．a1C．a2D．a≤13解析：f′(x)＝3ax2－1，∵f(x)在R上为减函数，∴3ax2－1≤0在R上恒成立，∴a≤0.答案：A返回6．已知函数f(x)＝2ax－1x2.(1)若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)的单调增区间是(0,1)，求a的值．解：(1)f′(x)＝2a＋2x3，且f(x)在(0,1]上是增函数，故f′(x)≥0恒成立，所以a≥－1x3恒成立，又y＝－1x3在(0,1]上的最大值是－1，故a≥－1.a的取值范围为[－1，＋∞)．返回(2)∵f(x)的单调递增区间是(0,1)，∴f′(x)＝2a＋2x30的解集是(0,1)．即ax3＋1x30的解集是(0,1)．∴3－1a＝1，解得a＝－1.返回1．利用导数求函数f(x)单调区间的方法如下：(1)求f(x)的定义域；(2)求出f′(x)；(3)解不等式f′(x)0(或f′(x)0)可得函数的增区间(或减区间)．2．当函数f(x)的单调性相同的区间不止一个时，不能用“∪”连接，要用“，”分开或用“和”连接．3．应用函数的单调性求参数的范围或参数的值时，要注意单调性与区间的对应．一般地，函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，求出的一般是参数的范围．函数f(x)的单调递增区间是(a，b)，求出的一般是参数的值．返回点击下图进入“应用创新演练”