一轮复习利用导数研究函数单调性

第十一节导数在研究函数中的应用第一课时利用导数研究函数的单调性【教材基础回顾】1.利用导数研究函数的单调性在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)0⇒f(x)在(a,b)上为_______.f′(x)0⇒f(x)在(a,b)上为_______.f′(x)=0⇒f(x)在(a,b)上为_________.增函数减函数常数函数2.由导数求单调区间的步骤(1)求定义域.(2)求导数.(3)由导数大于0求单调递增区间,由导数小于0求单调递减区间.【金榜状元笔记】1.两个条件(1)f′(x)0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件.(2)f′(x)≤0是函数f(x)为减函数的必要不充分条件.2.确定单调区间端点值的三个依据(1)导函数等于零的点.(2)函数不连续的点.(3)函数不可导的点.3.三点注意(1)在函数定义域内讨论导数的符号.(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号,不能用“∪”,可用“,”或用“和”.(3)区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间.【教材母题变式】1.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f′(x)的图象可能是()【解析】选D.由y=f(x)的图象知,在(-∞,0)上y=f′(x)为正,且逐渐增大,而在(0,+∞)上y=f′(x)为负且逐渐增大.2.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间是()A.(0,1)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】选A.函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-=,令f′(x)0得0x1.1xx1x-3.函数f(x)=(a0)的单调递增区间是()A.(-∞,-1)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)或(1,+∞)2axx1【解析】选B.函数f(x)的定义域为R,f′(x)=,由于a0,要使f′(x)0,只需(1-x)(1+x)0,解得-1x1.222a(1x)(x1)22a(1x)(1x)(x1)4.(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是()131A.[1,1]B.[1,]3111C.[,]D.[1,]333-----【解析】选C.方法一:用特殊值法:取a=-1,f(x)=x-sin2x-sinx,f′(x)=1-cos2x-cosx,但f′(0)=1--1=-0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A,B,D.13232323方法二:f′(x)=1-cos2x+acosx≥0对x∈R恒成立,故1-(2cos2x-1)+acosx≥0,即acosx-cos2x+≥0恒成立,令t=cosx,所以-t2+at+≥0对t∈[-1,1]恒成立,232343534353构造函数f(t)=-t2+at+,开口向下的二次函数f(t)的最小值的可能值为端点值,故只需4353()()1f1a0,113a.133f1a0,3ìïï-=-?ïïï-＃íïï=+?ïïïî解得【母题变式溯源】题号知识点源自教材1导数的图象P93·练习T22函数的单调区间P98·A组T13函数的单调区间P91·例24单调性的应用P98·练习T(2)考向一利用导函数讨论(或证明)函数的单调性【典例1】(2016·山东高考改编)已知函数f(x)=a(x-lnx)+,a∈R.试讨论f(x)的单调性.世纪金榜导学号3768007322x1x【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=当a≤0时,x∈(0,1)时,f′(x)0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)0,f(x)单调递减,当a0时,f′(x)=2233ax2x1a22a.xxxx3ax122xx.xaa()()(1)当0a2时,1,当x∈(0,1)或x∈时,f′(x)0,f(x)单调递增;当x∈时,f′(x)0,f(x)单调递减.(2)当a=2时,=1,在x∈(0,+∞)内,f′(x)≥0,f(x)单调递增.2a2,a()21,a()2a(3)当a2时,01,当x∈或x∈(1,+∞)时,f′(x)0,f(x)单调递增;当x∈时,f′(x)0,f(x)单调递减.综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;2a20,a()2,1a()当0a2时,f(x)在(0,1)内单调递增,在内单调递减,在内单调递增;当a=2时,f(x)在(0,+∞)内单调递增;当a2时,f(x)在内单调递增,在内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.21,a()2,a()2,1a()20,a()【误区警示】含参问题的三个常见失误:一是忽视函数的定义域(0,+∞);二是忽视a=0这一特殊情况;三是不知对a按什么标准进行讨论.【一题多变】1.若典例中的函数变为:f(x)=ex(ax2-2x+2)(a0).试讨论f(x)的单调性.【解析】由题意得f′(x)=ex[ax2+(2a-2)x](a0),令f′(x)=0,解得x1=0,x2=.(1)当0a1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和单调递减区间为22aa22a,,a()22a0,.a()(2)当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增;(3)当a1时,f(x)的单调递增区间为和(0,+∞),单调递减区间为22a,a()22a,0.a()2.若典例中的函数变为f(x)=(a-1)lnx+ax2+1,a∈R,试讨论f(x)的单调性.【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax=(1)当a≥1时,f′(x)0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)当a≤0时,f′(x)0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减.a1x22axa1.x(3)当0a1时,令f′(x)=0,解得x=则当x∈时,f′(x)0;当x∈时,f′(x)0,故f(x)在上单调递减,在上单调递增.1a,2a1a0,2a()1a,2a()1a0,2a()1a,2a()【技法点拨】利用导数讨论(证明)函数f(x)在(a,b)内单调性的步骤(1)求f′(x).(2)确认f′(x)在(a,b)内的符号.(3)得出结论:f′(x)0时为增函数,f′(x)0时为减函数.提醒:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.【拓展】化整为零,积零为整——分类与整合思想(1)分类与整合是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法,这种思想在简化研究对象,发展思维方面起着重要作用.(2)在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究,我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,最后综合各类结果得到整个问题的解决,这一思想方法,我们称之为“分类与整合思想”.【同源异考·金榜原创】1.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,若函数f(x)的图象如图所示,则一定有()世纪金榜导学号37680074A.b0,c0B.b0,c0C.b0,c0D.b0,c0【解析】选B.因为y=ax3+bx2+cx+d,所以y′=3ax2+2bx+c,因为函数y=ax3+bx2+cx+d从左到右先增后减再增,所以二次函数y′=3ax2+2bx+c的图象开口向上,所以a0,因为函数y=ax3+bx2+cx+d的极值点都为正,所以3ax2+2bx+c=0有两个不同的正根,所以0,所以c0,-0,b0.c3a2b3a2.已知函数f(x)=lnx+a(1-x),讨论f(x)的单调性.【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.若a≤0,则f′(x)0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.1x若a0,则当x∈时,f′(x)0;x∈时,f′(x)0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.1(0,)a1(0,)a1(,)a1(,)a考向二利用导数求函数单调区间【典例2】(2017·山东高考改编)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R,世纪金榜导学号37680075(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程.(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性.1312【解析】(1)由题意f′(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f′(x)=x2-2x,所以f′(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,所以g′(x)=f′(x)+cosx-(x-a)sinx-cosx=x(x-a)-(x-a)sinx=(x-a)(x-sinx),令h(x)=x-sinx,则h′(x)=1-cosx≥0,所以h(x)在R上单调递增,因为h(0)=0,所以当x0时,h(x)0;当x0时,h(x)0.①当a0时,g′(x)=(x-a)(x-sinx),当x∈(-∞,a)时,x-a0,g′(x)0,g(x)单调递增;当x∈(a,0)时,x-a0,g′(x)0,g(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,x-a0,g′(x)0,g(x)单调递增.②当a=0时,g′(x)=x(x-sinx),当x∈(-∞,+∞)时,g′(x)≥0,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.③当a0时,g′(x)=(x-a)(x-sinx),当x∈(-∞,0)时,x-a0,g′(x)0,g(x)单调递增;当x∈(0,a)时,x-a0,g′(x)0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,x-a0,g′(x)0,g(x)单调递增.综上所述:当a0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减;当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减.【技法点拨】利用导数求函数单调区间的三种方法(1)当不等式f′(x)0或f′(x)0可解时,确定函数的定义域,解不等式f′(x)0或f′(x)0求出单调区间.(2)当方程f′(x)=0可解时,确定函数的定义域,解方程f′(x)=0,求出实数根,把函数的实根按从大到小的顺序排列起来,把定义域分成若干个小区间,确定f′(x)在各个区间内的符号,从而确定单调区间.(3)不等式f′(x)0或f′(x)0及方程f′(x)=0均不可解时,根据f′(x)的结构特征,构造新函数g(x),通过研究g(x)的单调性来确定f′(x)的符号,从而确定f(x)的单调性.【同源异考·金榜原创】1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)【解析】选D.由题意,知f′(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由f′(x)0得x2.2.已知函数f(x)=(k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求k的值.(2)求f(x)的单调区间.xlnxke+【解析】(1)由题意得f′(x)=又因为f′(1)==0,故k=1.(2)由(1)知,f′(x)=设h(x)=-lnx-1(x0),则h′(x)=0,x1lnxkxe--，1ke-x1lnx1xe--，1x211xx－－即h(x)在(0,+∞)上是减函数.由h(1)=0知,当0x1时,h(x)0,从而f′(x)0;当x1时,h(x)0,从而f′(x)0.综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).考向三利用导数解决函数单调性的应用问题◀高频考点命题利用导数解决函数单调性的应用问题多以选择题或填空题的形式呈现,