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《整式的乘除》课标与教材平顶山市第十八中学孙明2013.4整式的乘法整式的除法整式的乘法同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方单项式乘单项式单项式乘多项式多项式乘多项式平方差公式、完全平方公式同底数幂的除法单项式除以单项式零指数幂、负指数幂多项式除以单项式《整式的乘除》课标与教材一、教材定位1、《标准》的要求：七年级下册《第一章整式的乘除》在《新课程标准》具体要求有以下几点：①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义；②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；③会求代数式的值，能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算；④了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）；⑤理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算，能进行简单的乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）；；⑥能推导乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算。2、学情分析：从《标准》中可以看出，本章学习内容属于第四、五、六三条。因此，在本章学习前，学生已经学习了整式的意义及加减，求值，初步体会了代数式在解决“具有一般性”的问题中的作用，学习本章的知识，将进一步体会整式运算的意义。本章知识的学习对于后面学习《因式分解》、《分式及其运算》及《函数》提供了学习基础。3、本单元的特点：①本章的知识结构图如下：②为学习整式的乘、除运算，首先要学习同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的除法运算，即前三节的内容，教材的处理方法，总的来说类比数的运算，从数的运算开始，通过观察和进一步体会，运用幂的意义最终得到以字母为底数的幂的运算法则。教材在得到这些运算法则的过程中小红，通过创设情景问题，穿插应用问题等，使学生从不同角度体会引入这些运算的意义，避免单纯代数式运算给学生带来的枯燥感。在探究整式乘法法则（包括乘法公式）的过程中，即第4~6节中，教材特别注重几何图形理解法则，同时进一步代数式运算在解决“具有一般性”的问题中的作用，进一步发展学生的符号意识，体会数形结合的思想。教材注重算理的理解和运算能力的提高，注重学生的数感、符号意识的发展。二、教材分析1、本章的教学目标：①经历探索整式乘除运算法则的过程，理解整式乘除运算的算理，积累数学活动经验；②了解整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质，会进行简单的整式乘除运算（整式的除法只要求到整式除以单项式且结果为整式）；③进一步用科学记数法表示小于1的正数（包括在计算器上表示），能用生活中的实例体会这些数的意义，发展数感；④能能推导乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景，发展几何直观；⑤进一步学习用类比、归纳、转化等方法进行运算与思考，发展运算能力，并进一步体会字母表示数的意义，发展符号意识；⑥在整式乘除的过程中，发展勇于探究、质疑与合作交流的精神。2、教材的编排体例①章前言的编写意图或作用。内容呈现为文字与图片。三段简单的文字告诉了学生在生活中所遇到的而没见过的（本章）数学问题，借以引起学生的兴趣，并通过图片展现给学生，加深学生对本章知识的印象，通过教学目标的呈现，使学生初步了解本章的学习，使自己能够（或应该）达到哪些能力。②第1节同底数幂的乘法，通过“比邻星与地球的距离”的计算为情景引出问题，通过类似算式的计算，联想出同底数幂的乘法并总结法则，再以例题与生活问题的解决具体验学习的意义。教材的编排自然流畅，从学生能够解决的问题入手（底数为10的幂的乘法），产生联想：底数不为10的呢？在总结法则的过程中渗透着从特殊到一般认知思想，实践着从一般到特殊的认知规律（例题呈现）。③第2节幂的乘方与积的乘方在教材安排上与第1节有着惊人的雷同方式。④第3节同底数幂的除法，通过计算杀菌剂的滴数（仍然以10为底）的计算为情景引出同底数幂的除法法则，鉴于学生对同底数幂的乘法已有了经验，学习同底数幂的除法亦不难，教材通过规律探索的方式把0指数幂与负指数幂的意义引出，这样整数指数幂的意义就学的完整了。在内容呈现上仍然采取数的类比，观察，探究、交流与合作的方式使学生明白其中的算理。同时，负指数的引出，小于1的数就可以用科学记术法来表示。⑤第4节整式的乘法，从本节开始，教材对内容的呈现发生变化，以图形面积的计算引出整式的乘法，通过交流、合作，总结法则，从理论上采取类比的方式探究出法则，发展学生的几何直观。⑥第5节平方差公式学生掌握多项式的乘法之后，对平方差公式的引出具有基础作用，它的结果仅有两项，是多项式乘法结果中最少的，学生对这个结果自然喜欢，复杂的结果并不能使学生感兴趣，，但要掌握好也并非易事，为此，教材在例题中呈现不同的方式让学生体会公示的正确使用，并以数的计算为例让学生感受学习的价值，可以使计算带来简便，增强学生学习的自信心。⑦第6节完全平方公式也是多项式的乘法，但结果为3项，通过多项式的乘法引出，并以图形种面积的计算让学生理解公式，增加了趣味性，发展了学生的几何直观，体现了数形结合的思想。用过趣味性二项式展开的阅读，增强学生爱国主义及民族精神。⑧第7节整式的除法仍然通过类比的思想引导学生探索法则，体验知识的前后联系，及学习方法的通用性。3、本章重难点⑨本章重点为整式的乘除运算、有条理的思考与表达。⑩难点：乘法法则的形成、运用，公式的区别与辨认、符号运算、结果的处理三、教学策略1、创造自主探索与交流合作的机会本章教材大量使用这种方式呈现知识给学生，培养学生探究的方法。2、使学生体验数形结合思想的直观性、形象性，运用类比、联想等方法学习的有效性。比如平方差公式，完全平方公式（见教材图），看到图形，很容易理解、记忆公式。有分数的约分联想单项式的除法等。3、提供信息获取与分析的平台，学会阅读与想象。比如，学了积的乘方、幂的乘方，同底数幂的乘法，学生不会解决“若2x+1=43，则x=。”对于信息的分析不能产生联想，其实教材中每学到一个新知识之前都引导学生联想旧的知识运用进而产生新知识。只是学生一直没有形成这种意识，课堂上也可以发现新问题的联想出来的很少，寥寥无几。这种现象需要不断的锻炼，给学生提供锻炼的平台。四、教学流程（以单项式除法为例说明本单元的教学流程。）环节一：联想与计算计算下列各题，并说明你的理由（1）x2y÷x2（2）8m2n2÷2m2n（3）a4b2c÷3a2b意图说明：本节的问题是简单的单项式除法，第（1）小题系数均为1，即：先不说系数问题，目的让学生通过“÷”这一数学符号去联想已有的知识经验（学生可能没有符号意识，不注意符号的联想，可提醒），除法在小学已经学过，有整数除法，小数的除法，分数的除法，用哪一种方式的除法算呢？这是需要学生去思考的！学生最容易想到的是分数的除法，这种算法把除法变成乘法，再用乘法结合律与交换律把同底数的幂相除，这是合理的理由与想法。最不容易想到的就是两数相除的结果写成分数的形式，因此，教材的“小精灵”提示学生“可以用分数的约分的方法来计算”（实际教学中可以发现：我先出了“1÷3=，学生得到两种结果：0.3与31，下面则不能写成分数形式，学生的想法中出现了先算同底数幂除法，即：x2÷x2，再乘y，理由却说不上来），可见，本小题必须让学生研究透彻，有利于总结法则。第（2）小题的单项式含有系数，如果第（1）小题研究透彻，本题就容易理解与运算了。第（3）目的有两个方面：一是提醒学生a4b2c的系数为1，一是在总结时注意没有同底数幂的，如c这个因式怎么办？环节二：总结法则通过学生议论，总结出单项式除法法则：①同底数幂相除，②系数相除，③被除数中字母及其指数作为商的一个因式。环节三：法则运用例1计算（1）32x2y3÷3x2y（2）10a4b3c2÷5a3bc（3）（2x2y）3.（-7xy2）÷14x4y3（4）（2a+b）4÷（2a+b）2意图说明：第（1）有两个目的一是负分数除法的锻炼，一是运用法则，被除数中没有不同底数的幂，第（2）小题纯粹练习法则，第（3）难度陡然加大，出现积的乘方、单项式乘除混合运算，要提醒学生，有哪些运算？这是学生最容易出错的地方，必要时可先练熟法则（随堂练习中的习题），再来做这类问题，第（4）小题是底数为多项式的同底数幂除法，同样要提醒学生观察出来，拓展学生对同底数幂的除法深刻理解。并要提醒学生，整式的乘除结果是多项式！环节四：做一做如图所示，三个大小相同的球恰好放在同一个圆柱形盒子里，三个球得体积之和占整个盒子容积的几分之几？本题意图在于单项式除法运用于生活，需要学生读明白题意，球的体积刚学过，不一定想起来，需要提醒，谁占谁的几分之几的算法也是部分学生的难点，因此，对于我校学生来说，并不能轻松解决这个问题，由于重点放在探索法则上，运用上，没有时间探究这个问题，不能学习，可留到课外，学生探究。环节五课堂小结1、说说体会、感受、困惑、学到的知识或方法2、作业：知识技能1、2，课外：p29“做一做”、3、4、5