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文数课标版第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以①判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做②真命题,判断为假的语句叫做③假命题.教材研读2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系(i)两个命题互为逆否命题,它们有⑦相同的真假性;(ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性⑧没有关系.3.充分条件与必要条件(1)若p⇒q,则p是q的⑨充分条件,q是p的⑩必要条件.(2)若p⇒q,且qp,则p是q的 充分不必要条件.(3)若pq,且q⇒p,则p是q的 必要不充分条件.(4)若p⇔q,则p与q互为 充要条件.(5)若pq,且qp,则p是q的 既不充分也不必要条件. 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“x2+2x-30”是命题. (×)(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则¬q”. (×)(3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真. (√)(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件. (√)(5)q不是p的必要条件时,“pq”成立. (√) 1.下列命题中的真命题为 ()A.若 = ,则x=yB.若x2=1,则x=1C.若x=y,则 = D.若xy,则x2y2答案A取x=-1,排除B;取x=y=-1,排除C;取x=-2,y=-1,排除D.1x1yxy2.命题“若ab,则a-1b-1”的否命题是 ()A.若ab,则a-1≤b-1B.若ab,则a-1b-1C.若a≤b,则a-1≤b-1D.若ab,则a-1b-1答案C根据否命题的定义可知,命题“若ab,则a-1b-1”的否命题应为“若a≤b,则a-1≤b-1”.3.命题“若x2+y2=0,x,y∈R,则x=y=0”的逆否命题是 ()A.若x≠y≠0,x,y∈R,则x2+y2=0B.若x=y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0C.若x≠0且y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0D.若x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0答案D将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.由x=y=0知x=0且y=0,其否定是x≠0或y≠0.4.在△ABC中,“A30°”是“sinA ”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B当A=170°时,sin170°=sin10° ,所以充分性不成立;但是在△ABC中,sinA ⇒30°A150°⇒A30°,即必要性成立.1212125.“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增函数”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案B函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增函数,应满足- =2a≤2,即a≤1,所以“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增函数”的充分不必要条件,故选B.42a6.设x、y是两个实数,则使“x、y中至少有一个大于1”成立的一个充分条件是 ()A.x+y=2B.x+y2C.x2+y22D.xy1答案B因为命题“若x、y都小于或等于1,则x+y≤2”是真命题,所以其逆否命题“若x+y2,则x、y中至少有一个大于1”是真命题,故x+y2⇒x、y中至少有一个大于1,因而选B.考点一四种命题的相互关系及真假判断典例1(1)命题“若△ABC有一个内角为 ,则△ABC的三个内角按适当的顺序排列后可构成等差数列”的逆命题 ()A.与原命题同为假命题B.与原命题的否命题同为假命题C.与原命题的逆否命题同为假命题D.与原命题同为真命题(2)以下关于命题的说法正确的有(填写所有正确命题的序号).①“若log2a0,则函数f(x)=logax(a0,且a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;3考点突破③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.答案(1)D(2)②④解析(1)原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角按适当的顺序排列后可构成等差数列,则△ABC有一个内角为 ”,它是真命题.故选D.(2)对于①,若log2a0=log21,则a1,所以函数f(x)=logax在其定义域内是增函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于③,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x、y都是偶数”,是假命题,如1+3=4,是偶数,但1和3均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”互为逆否命题,因3此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④.易错警示写一个命题的其他三种命题时,需注意:①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.1-1有以下命题:①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“面积相等的两个三角形全等”的否命题;③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.其中真命题为 ()A.①②B.②③C.④D.①②③答案D①“若x,y互为倒数,则xy=1”是真命题;②“面积不相等的两个三角形一定不全等”,是真命题;③若m≤1,则Δ=4-4m≥0,所以原命题是真命题,故其逆否命题也是真命题;④由A∩B=B,得B⊆A,所以原命题是假命题,故其逆否命题也是假命题.所以选D.1-2给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是 ()A.3B.2C.1D.0答案C原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;它的逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”,显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.考点二充分、必要条件的判断典例2(1)(2016天津,5,5分)设x0,y∈R,则“xy”是“x|y|”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)(2016四川,5,5分)设p:实数x,y满足x1且y1,q:实数x,y满足x+y2,则p是q的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)C(2)A解析(1)令x=1,y=-2,满足xy,但不满足x|y|;又x|y|≥y,∴xy成立,故“xy”是“x|y|”的必要而不充分条件.(2)当x1且y1时,x+y2,所以充分性成立;令x=-1,y=4,则x+y2,但x1,所以必要性不成立,所以p是q的充分不必要条件.故选A.1.利用定义判断.方法技巧判断充分、必要条件的三种方法:2.利用集合间的包含关系判断.记法A={x|p(x)},B={x|q(x)}关系A⫋BB⫋AA=BA⊈B且B⊈A结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件3.利用等价转换法判断.利用p⇒q与¬q⇒¬p,p⇔q与¬q⇔¬p的等价关系进行判断,对于条件或结论是否定形式的命题一般运用等价法.2-1(2017黑龙江、吉林八校联考)若a0,b0,则“a+b1”是“ab1”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B∵a0,b0,a+b1,∴a+b≥2 1,解得ab ;当a0,b0,ab1时,必有a1或b1,则a+b1.故“a+b1”是“ab1”的必要不充分条件,故选B.ab142-2(2016山西太原一模)“已知命题p:cosα≠ ,命题q:α≠ ”,则命题p是命题q的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解法一:若cosα≠ ,则α≠2kπ± (k∈Z),则α也必然不等于 ,故p⇒q;若α≠ ,但α=- 时,依然有cosα= ,故q⇒/p.所以p是q的充分而不必要条件.解法二:¬p:cosα= ,¬q:α= ,则有¬p¬q,¬q⇒¬p,即¬q是¬p的充分不必要条件,根据原命题与逆否命题的等价性,可得p是q的充分不必要条件.12312333312123考点三充分、必要条件的应用典例3已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围为.答案[0,3]解析由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,∴P={x|-2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.则 ∴0≤m≤3.∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].11,12,110,mmmm方法技巧解决由充分、必要条件求参数范围问题时,一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.变式3-1把本例中的“必要条件”改为“充分条件”,求m的取值范围.解析由x∈P是x∈S的充分条件,知P⊆S,则 解得m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).11,12,110,mmmm