因式分解的常用方法及练习题

1因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2(2)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2(3)立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)(4)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)（5）完全立方公式：(a±b)³＝a³±3a²b＋3ab²±b³下面再补充两个常用的公式：(6)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(7)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bnbmanam分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=)()(bnbmanam=)()(nmbnma每组之间还有公因式！=))((banm例2、分解因式：bxbyayax5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=)5()102(bxbyayax原式=)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba练习：分解因式1、bcacaba22、1yxxy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ayaxyx22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。例4、分解因式：2222cbaba解：原式=)()(22ayaxyx解：原式=222)2(cbaba=)())((yxayxyx=22)(cba=))((ayxyx=))((cbacba2练习：分解因式3、yyxx39224、yzzyx2222综合练习：（1）3223yxyyxx（2）baaxbxbxax22（3）181696222aayxyx（4）abbaba4912622（5）92234aaa（6）ybxbyaxa222244（7）222yyzxzxyx（8）122222abbbaa（9）)1)(1()2(mmyy（10）)2())((abbcaca四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点：（1）二次项系数是1；3（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0＜a≤5，且a为整数，若223xxa能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求24bac0而且是一个完全平方数。于是98a为完全平方数，1a例5、分解因式：652xx分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。652xx12解：652xx=32)32(2xx13=)3)(2(xx1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：672xx672xx解：原式=)6)(1()]6()1[(2xx1-1=)6)(1(xx1-6（-1）+（-6）=-7练习5、分解因式(1)24142xx(2)36152aa(3)542xx练习6、分解因式(1)22xx(2)1522yy(3)24102xx（二）二次项系数不为1的二次三项式——cbxax2条件：（1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=))((2211cxacxa例7、分解因式：101132xx分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：101132xx=)53)(2(xx练习7、分解因式：（1）6752xx（2）2732xx4（3）317102xx（4）101162yy（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288baba分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：221288baba=)16(8)]16(8[2bbabba=)16)(8(baba练习8、分解因式(1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672yxyx例10、2322xyyx1-2y把xy看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=)32)(2(yxyx解：原式=)2)(1(xyxy练习9、分解因式：（1）224715yxyx（2）8622axxa综合练习10、（1）17836xx（2）22151112yxyx（3）10)(3)(2yxyx（4）344)(2baba（5）222265xyxyx（6）2634422nmnmnm5（7）3424422yxyxyx（8）2222)(10)(23)(5bababa（9）10364422yyxxyx（10）2222)(2)(11)(12yxyxyx五、换元法。例13、分解因式（1）2005)12005(200522xx（2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx解：（1）设2005=a，则原式=axaax)1(22=))(1(axax=)2005)(12005(xx（2）型如eabcd的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=222)65)(67(xxxxx设Axx652，则xAxx2672∴原式=2)2(xAxA=222xAxA=2)(xA=22)66(xx练习13、分解因式（1）)(4)(22222yxxyyxyx（2）90)384)(23(22xxxx六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1）4323xx解法1——拆项。解法2——添项。原式=33123xx原式=444323xxxx=)1)(1(3)1)(1(2xxxxx=)44()43(2xxxx=)331)(1(2xxxx=)1(4)4)(1(xxxx=)44)(1(2xxx=)44)(1(2xxx=2)2)(1(xx=2)2)(1(xx练习15、分解因式（2）4224)1()1()1(xxx（3）1724xx4）22412aaxxx6第二部分：习题大全经典一：一、填空题1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。2分解因式：m3-4m=.3.分解因式：x2-4y2=_______.4、分解因式：244xx=_________________。5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为.6、若5,6xyxy，则22xyxy=_________，2222xy=__________。二、选择题7、多项式3222315520mnmnmn的公因式是()A、5mnB、225mnC、25mnD、25mn8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()A、2339aaaB、22abababC、24545aaaaD、23232mmmmm10.下列多项式能分解因式的是（）(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+411．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）12．下列各个分解因式中正确的是（）A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（）A.2B.4C.2y2D.4y2三、把下列各式分解因式：14、nxny15、2294nm16、mmnnnm17、3222aabab18、222416xx19、22)(16)(9nmnm；7五、解答题20、如图，在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长b=3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径45dcm，外径75Dcm，长3lm。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？(取3.14，结果保留2位有效数字)22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。24284216842(1)111(2)1111(3)11111(4)111111(5)_________________________________________________xxxxxxxxxxxxxxxxxx1.分解因式(1+y)²-2x²(1+y²)+x4(1-y)²2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5ldD8因式分解小结7.因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；1.通过基本思路达到分解多项式的目的例1.分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式解二：原式=2.通过变形达到分解的目的例1.分解因式解一：将拆成，则有解二：将常数拆成，则有3.在证明题中的应用例：求证：多项式的值一定是非负数9分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明