2018届高三数学一轮复习-第一章-集合-第三节-简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词-文

文数课标版第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词(1)命题中的①且、②或、③非叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q、p∨q、¬p的真假判断教材研读pqp∧qp∨q¬p真真④真真假真假⑤假真假假真假真⑥真假假假⑦假⑧真2.全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用“⑨∀”表示;含有全称量词的命题叫做全称命题.(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用“⑩∃”表示;含有存在量词的命题叫做特称命题.3.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x) ∃x0∈M,¬p(x0)∃x0∈M,p(x0) ∀x∈M,¬p(x) 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)命题p∧q为假命题,则命题p、q都是假命题. (×)(2)命题p和¬p不可能都是真命题. (√)(3)若命题p、q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题. (√)(4)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词. (√)(5)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,¬p(x)的真假性相反. (√)1.下列四个命题中的真命题为 ()A.∃x0∈Z,14x03B.∃x0∈Z,5x0+1=0C.∀x∈R,x2-1=0D.∀x∈R,x2+x+20答案D选项A中, x0 ,与x0∈Z矛盾;选项B中,x0=- ,与x0∈Z矛盾;选项C中,x=±1,与∀x∈R矛盾;选项D中,由Δ=1-8=-70可知D正确.1434152.若命题p:∀x∈R,2x2-10,则该命题的否定是 ()A.∀x∈R,2x2-10B.∀x∈R,2x2-1≤0C.∃x∈R,2x2-1≤0D.∃x∈R,2x2-10答案C全称命题的否定为特称命题.命题p的否定为∃x∈R,2x2-1≤0,故选C.3.已知命题p:∃x0∈R, =1,则¬p是 ()A.∀x∈R,2x≠1B.∀x∉R,2x≠1C.∃x0∈R, ≠1D.∃x0∉R, ≠1答案A命题p:∃x0∈R, =1的否定为¬p:∀x∈R,2x≠1,故选A.02x02x02x02x4.命题p:若sinxsiny,则xy;命题q:x2+y2≥2xy,下列命题为假命题的是 ()A.p或qB.p且qC.qD.¬p答案B取x= ,y= ,可知命题p是假命题;由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q是真命题,故¬p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题,故选B.3565.已知命题p:若xy,则-x-y,命题q:若xy,则x2y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是 ()A.①③B.①④C.②③D.②④答案C依题意可知,命题p为真命题,命题q为假命题,则¬p为假命题,¬q为真命题.由真值表可知p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧(¬q)为真命题,(¬p)∨q为假命题.考点一全称命题与特称命题的真假判断典例1(1)下列命题中的假命题是 ()A.∀x∈R,2x-10B.∀x∈N*,(x-1)20C.∃x∈R,lgx1D.∃x∈R,tanx=2(2)下列命题中,真命题是 ()A.∀x∈R,x2-x-10B.∀α,β∈R,sin(α+β)sinα+sinβC.∃x∈R,x2-x+1=0D.∃α,β∈R,sin(α+β)=cosα+cosβ答案(1)B(2)D解析(1)易知A正确;对于B,当x=1时,(x-1)2=0,错误;对于C,当x∈(0,1)时,考点突破lgx01,正确;对于D,∃x∈R,tanx=2,正确.(2)因为x2-x-1= - ,所以A是假命题.当α=β=0时,有sin(α+β)=sinα+sinβ,所以B是假命题.x2-x+1= + ≥ ,所以C是假命题.当α=β= 时,有sin(α+β)=cosα+cosβ,所以D是真命题,故选D.212x54212x34342方法技巧全称命题、特称命题的真假判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.1-1下列命题:①∀x∈R,x2+20;②∀x∈N,x4≥1;③∃x∈Z,x31;④∃x∈Q,x2=3;⑤∀x∈R,x2-3x+2=0;⑥∃x∈R,x2+1=0.其中是真命题的序号为.答案①③解析①由于∀x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2,即x2+20,所以命题“∀x∈R,x2+20”是真命题.②由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立,所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命题.③由于-1∈Z,当x=-1时,x31,所以命题“∃x∈Z,x31”是真命题.④由于使x2=3成立的数只有± ,而它们都不是有理数,因此,没有任何3一个有理数的平方能等于3,所以命题“∃x∈Q,x2=3”是假命题.⑤由于只有当x=2或x=1时,满足x2-3x+2=0,所以命题“∀x∈R,x2-3x+2=0”是假命题.⑥由于不存在一个实数x使x2+1=0成立,所以命题“∃x∈R,x2+1=0”是假命题.考点二含有一个量词的命题的否定典例2(1)(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n22n,则¬p为 ()A.∀n∈N,n22nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n(2)命题“对任意x∈R,都有x2≥ln2”的否定为 ()A.对任意x∈R,都有x2ln2B.不存在x∈R,都有x2ln2C.存在x0∈R,使得 ≥ln2D.存在x0∈R,使得 ln220x20x答案(1)C(2)D解析(1)根据特称命题的否定为全称命题,知¬p:∀n∈N,n2≤2n,故选C.(2)根据全称命题的否定为特称命题知命题“对任意x∈R,都有x2≥ln2”的否定为“存在x0∈R,使得 ln2”.20x易错警示全称命题与特称命题的否定与非全称、非特称命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而非全称、非特称命题的否定只需直接否定结论即可.另外,对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.2-1已知命题p:∃x∈ ,cosx≤x,则¬p为 ()A.∃x∈ ,cosxxB.∃x∈ ,cosxxC.∀x∈ ,cosxxD.∀x∈ ,cosx≤x答案C原命题是一个特称命题,其否定是一个全称命题,而“cosx≤x”的否定是“cosxx”.故选C.0,20,20,20,20,22-2(2017福建南平模拟)设命题p:∀x∈R,x2+10,则¬p为 ()A.∃x0∈R, +1≤0B.∃x0∈R, +10C.∀x∈R,x2+10D.∀x∈R,x2+1≤0答案A根据全称命题的否定是特称命题得到命题p的否定¬p:∃x0∈R, +1≤0,故选A.20x20x20x考点三含逻辑联结词的命题的真假判断典例3(1)若命题p:函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:函数y=x- 的单调递增区间是[1,+∞),则 ()A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.¬p是真命题D.¬q是真命题(2)已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数,则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(¬p1)∨p2,q4:p1∧(¬p2)中,真命题是 ()A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q41x解析(1)易知p是真命题;因为函数y=x- 的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题,所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,¬p为假命题,¬q为真命题.(2)∵y=2-x= 在R上为减函数,∴y=-2-x=- 在R上为增函数,又∵y=2x在R上为增函数,∴y=2x-2-x在R上为增函数,故p1是真命题.易知y=2x+2-x在R上为减函数是错误的,故p2是假命题.∴q1:p1∨p2是真命题,q2:p1∧p1是假命题,q3:(¬p1)∨p2是假命题,q4:p1∧(¬p2)是真命题,故选C.1x12x12x答案(1)D(2)C方法技巧(1)含逻辑联结词的命题真假判断的步骤:①确定复合命题的结构形式;②判断其中简单命题的真假;③根据真值表判断复合命题的真假.(2)含逻辑联结词的命题真假判断以真值表为标准.可简记为:p∧q,同真则为真,其余为假;p∨q,有真则为真,其余为假;¬p与p的真假相反.3-1设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中是真命题的是 ()A.p∨qB.p∧qC.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)答案A由题意知命题p为假命题,命题q为真命题,所以p∨q为真命题.故选A.3-2已知命题p,q,“¬p为真”是“p∧q为假”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A因为¬p为真,所以p为假,那么p∧q为假,所以“¬p为真”是“p∧q为假”的充分条件;反过来,若“p∧q为假”,则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”,所以由“p∧q为假”不能推出“¬p为真”.综上可知,“¬p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.考点四利用复合命题的真假求参数范围典例4已知命题p:关于x的不等式ax1(a0,且a≠1)的解集是{x|x0},命题q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数a的取值范围为.答案 ∪[1,+∞)解析由关于x的不等式ax1(a0,且a≠1)的解集是{x|x0},知0a1;由函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,知不等式ax2-x+a0的解集为R,则 解得a .10,220,140,aΔa12因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”,故 或 解得a≥1或0a≤ ,故实数a的取值范围是 ∪[1,+∞).01,12aaa或01,1,2aa1210,2方法技巧根据复合命题的真假求参数范围的步骤:(1)先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围;(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况);(3)最后由(2)的结果求出满足条件的参数的取值范围.