44离散数学习题集(十五套)

离散数学试题与答案试卷一一、填空20%（每小题2分）1．设}7|{)},5()(|{xExxBxNxxA且且（N：自然数集，E+正偶数）则BA。2．A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为。3．设P，Q的真值为0，R，S的真值为1，则)()))(((SRPRQP的真值=。4．公式PRSRP)()(的主合取范式为。5．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)()(xxPxxP在I下真值为。6．设A={1，2，3，4}，A上关系图为则R2=。7．设A={a，b，c，d}，其上偏序关系R的哈斯图为则R=。8．图的补图为。9．设A={a，b，c，d}，A上二元运算如下：ABC*abcdabcdabcdbcdacdabdabc那么代数系统A，*的幺元是，有逆元的元素为，它们的逆元分别为。10．下图所示的偏序集中，是格的为。二、选择20%（每小题2分）1、下列是真命题的有（）A．}}{{}{aa；B．}}{,{}}{{；C．}},{{；D．}}{{}{。2、下列集合中相等的有（）A．{4，3}；B．{，3，4}；C．{4，，3，3}；D．{3，4}。3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。A．23；B．32；C．332；D．223。4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）A．若R，S是自反的，则SR是自反的；B．若R，S是反自反的，则SR是反自反的；C．若R，S是对称的，则SR是对称的；D．若R，S是传递的，则SR是传递的。5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{tsAptstsR则P（A）/R=（）A．A；B．P(A)；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f:IE,f(x)=2x；B．f:NNN,f(n)=n,n+1；C．f:RI,f(x)=[x]；D．f:IN,f(x)=|x|。（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3的通路有（）条。A．0；B．1；C．2；D．3。9、下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是（）10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（）个4度结点。A．1；B．2；C．3；D．4。三、证明26%１、R是集合X上的一个自反关系，求证：R是对称和传递的，当且仅当a,b和a,c在R中有.b,c在R中。（8分）２、f和g都是群G1,★到G2,*的同态映射，证明C,★是G1,★的一个子群。其中C=)}()(|{1xgxfGxx且(8分)３、G=V,E(|V|=v，|E|=e)是每一个面至少由k（k3）条边围成的连通平面图，则2)2(kvke，由此证明彼得森图（Peterson）图是非平面图。（11分）四、逻辑推演16%用CP规则证明下题（每小题8分）1、FAFEDDCBA,2、)()())()((xxQxxPxQxPx五、计算18%1、设集合A={a，b，c，d}上的关系R={a,b,b,a,b,c,c,d}用矩阵运算求出R的传递闭包t(R)。（9分）2、如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,vvv及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。（９分）试卷一答案：一、填空20%（每小题2分）1、{0，1，2，3，4，6}；2、ACB)(；3、1；4、)()(RSPRSP；5、1；6、{1,1,1,3,2,2,2,4}；7、{a.b,a,c,a,d,b,d,c,d}IA；8、9、a；a,b,c,d；a,d,c,d；10、c;二、选择20%（每小题2分）题目12345678910答案CDB、CCADCADBA三、证明26%1、证：“”Xcba,,若Rc,a,b,a由R对称性知Ra,c,a,b，由R传递性得Rc,b“”若Rb,a，Rc,a有Rc,b任意Xba,，因Ra,a若Rb,aRa,b所以R是对称的。若Rb,a，Rcb,则Rcb,Rab,Rc,a即R是传递的。2、证Cba,，有)()(),()(bgbfagaf，又)()(,)()(1111bgbgbfbf)()()()(1111bgbgbfbfaf(★agbgagbfafb()(*)()(*)()111★)1ba★Cb1C,★是G1,★的子群。3、证：①设G有r个面，则rkFderii1)(2，即ker2。而2rev故keevrev22即得2)2(kvke。（8分）②彼得森图为10,15,5vek，这样2)2(kvke不成立，所以彼得森图非平面图。（3分）二、逻辑推演16%1、证明：①AP（附加前提）②BAT①I③DCBAP④DCT②③I⑤DT④I⑥EDT⑤I⑦FEDP⑧FT⑥⑦I⑨FACP2、证明①)(xxPP（附加前提）②)(cPUS①③))()((xQxPxP④)()(cQcPUS③⑤)(cQT②④I⑥)(xxQUG⑤⑦)()(xxQxxPCP三、计算18%1、解：0000100001010010RM，00000000101001012RRRMMM000000000101101023RRRMMM，000000001010010134RRRMMM0000100011111111432)(RRRRRtMMMMMt(R)={a,a,a,b,a,c,a,d,b,a,b,b,b,c.,b,d,c,d}2、解：用库斯克（Kruskal）算法求产生的最优树。算法略。结果如图：树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价。试卷二试题与答案一、填空20%（每小题2分）1、P：你努力，Q：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。2、论域D={1，2}，指定谓词PP(1,1)P(1,2)P(2,1)P(2,2)TTFF则公式),(xyyPx真值为。2、设S={a1，a2，…，a8}，Bi是S的子集，则由B31所表达的子集是。3、设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数xyxyxR，则R=（列举法）。R的关系矩阵MR=。5、设A={1，2，3}，则A上既不是对称的又不是反对称的关系R=；A上既是对称的又是反对称的关系R=。6、设代数系统A，*，其中A={a，b，c},则幺元是；是否有幂等性；是否有对称性。7、4阶群必是群或群。8、下面偏序格是分配格的是。9、n个结点的无向完全图Kn的边数为，欧拉图的充要条件是。10、公式RQPQPP)(())((的根树表示为。二、选择20%（每小题2分）1、在下述公式中是重言式为（）A．)()(QPQP；B．))()(()(PQQPQP；C．QQP)(；D．)(QPP。2、命题公式)()(PQQP中极小项的个数为（），成真赋值的个数为（）。A．0；B．1；C．2；D．3。3、设}}2,1{},1{,{S，则S2有（）个元素。A．3；B．6；C．7；D．8。4、设}3,2,1{S，定义SS上的等价关系},,,,|,,,{cbdaSSdcSSbadcbaR则由R产生的SS上一个划分共有（）个分块。*abcabcabcbbcccbA．4；B．5；C．6；D．9。5、设}3,2,1{S，S上关系R的关系图为则R具有（）性质。A．自反性、对称性、传递性；B．反自反性、反对称性；C．反自反性、反对称性、传递性；D．自反性。6、设,为普通加法和乘法，则（）,,S是域。A．},,3|{QbabaxxSB．},,2|{ZbanxxSC．},12|{ZnnxxSD．}0|{xZxxS=N。7、下面偏序集（）能构成格。8、在如下的有向图中，从V1到V4长度为3的道路有（）条。A．1；B．2；C．3；D．4。9、在如下各图中（）欧拉图。10、设R是实数集合，“”为普通乘法，则代数系统R，×是（）。A．群；B．独异点；C．半群。三、证明46%1、设R是A上一个二元关系，)},,,(),(|,{RbcRcaAcAbabaS且有对于某一个试证明若R是A上一个等价关系，则S也是A上的一个等价关系。（9分）2、用逻辑推理证明：所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。（11分）3、若BAf:是从A到B的函数，定义一个函数ABg2:对任意Bb有)})(()(|{)(bxfAxxbg，证明：若f是A到B的满射，则g是从B到A2的单射。（10分）4、若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定连通。（8分）5、设G是具有n个结点的无向简单图，其边数2)2)(1(21nnm，则G是Hamilton图（8分）四、计算14%1、设Z6,+6是一个群，这里+6是模6加法，Z6={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}，试求出Z6,+6的所有子群及其相应左陪集。（7分）2、权数1，4，9，16，25，36，49，64，81，100构造一棵最优二叉树。（7分）试卷二答案：一、填空20%（每小题2分）1、QP；QP2、T3、},,,,{876540001111131aaaaaBB4、R={2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6}；00000111111100011111111115、R={1,2,1,3,2,1}；R={1,1,2,2,3,3}6、a；否；有7、Klein四元群；循环群8、B9、)1(21nn；图中无奇度结点且连通10、二、选择20%（每小题2分）题目12345678910答案B、DD；DDBDABBBB、C三、证明46%1、（9分）（1）S自反的Aa，由R自反，),(),(RaaRaa，Saa,（2）S对称的传递对称定义RSabRRbcRcaSRbcRcaSbaAba,),(),(),(),(,,（3）S传递的定义传递SScaRRcbRbaRceRebRbdRdaScbSbaAcba,),(),(),(),(),(),(,,,,由（1）、（2）、（3）得；S是等价关系。2、11分证明：设P(x)：x是个舞蹈者；Q(x)：x很有风度；S(x)：x是个学生；a：王华上述句子符号化为：前提：))()((xQxPx、)()(aPaS结论：))()((xQxSx……3分①)()(aPaSP②))()((