上海市徐汇区2018年高三数学二模试卷

2017-2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学2018.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集RU，集合0322xxxA，则ACU.2．在61xx的二项展开式中，常数项是.3．函数()lg(32)xxfx的定义域为_____________．4．已知抛物线2xay的准线方程是14y，则a.5．若一个球的体积为323，则该球的表面积为_________．6．已知实数xy，满足001xyxy，，．则目标函数zxy的最小值为___________．7．函数2sincos1()11xxfx的最小正周期是___________．8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12，则该圆锥的侧面积等于.9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n，向量2,2amn，向量1,1b，则向量ab的概率．．是.10．已知直线12:0,:20lmxylxmym.当m在实数范围内变化时，1l与2l的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是.11．若函数222(1)sin()1xxfxx的最大值和最小值分别为M、m，则函数()sin1gxMmxMmx图像的一个对称中心是．12．已知向量,ab的夹角为锐角，且满足8||15a、4||15b，若对任意的(,)(,)||1,0xyxyxaybxy，都有||1xy成立，则ab的最小值为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题NMD1C1B1A1DCBA纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．在四边形ABCD中，ABDC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是--------（）（A）菱形（B）矩形（C）直角梯形（D）等腰梯形14.若无穷等比数列na的前n项和为nS，首项为1，公比为12，且aSnnlim，(n*N)，则复数iaz1（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于----------（）（A）第一象限．（B）第二象限．（C）第三象限．（D）第四象限．15．在ABC中，“cossincossinAABB”是“090C”的------------（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件16．如图，圆C分别与x轴正半轴，y轴正半轴相切于点,AB，过劣弧AB上一点T作圆C的切线，分别交x轴正半轴，y轴正半轴于点,MN，若点(2,1)Q是切线上一点，则MON周长的最小值为------------------------------------------------------------------()（A）10（B）8（C）45（D）12三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)如图在长方体1111DCBAABCD中，2AB，4AD，121AC，点M为AB的中点，点N为BC的中点．（1）求长方体1111DCBAABCD的体积；（2）求异面直线MA1与NB1所成角的大小（用反三角函数表示）．18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)如图：某快递小哥从A地出发，沿小路ABBC以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知10BD（公里），0045,30DCBCDB，ABD是等腰三角形，0120ABD．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路ADDC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知函数2()31fxxtx，其定义域为[0,3][12,15]，(1)当2t时，求函数()yfx的反函数；(2)如果函数()yfx在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围．20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)如图，,AB是椭圆22:12xCy长轴的两个端点，,MN是椭圆上与,AB均不重合的相异两点，设直线,,AMBNAN的斜率分别是123,,kkk.(1)求23kk的值；(2)若直线MN过点2,02，求证：1316kk；(3)设直线MN与x轴的交点为(,0)t(t为常数且0t)，试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．ABCD21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)已知数列na的前n项和nA满足*11()12nnAAnNnn，且11a，数列nb满足*2120()nnnbbbnN，32b，其前9项和为36．(1)求数列na和nb的通项公式；(2)当n为奇数时，将na放在nb的前面一项的位置上；当n为偶数时，将nb放在na前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1122334455,,,,,,,,,,abbaabbaab，求该数列的前n项和nS；(3)设1nnncab，对于任意给定的正整数2kk，是否存在正整数,()lmklm，使得,,klmccc成等差数列？若存在，求出,lm(用k表示)；若不存在，请说明理由．2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科参考答案及评分标准2018.4一．填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分１．]3,1[2．203．(0,)4．15．166．17．8．9．1610．2220xyxy11．114，12．815二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）13．A14．D15．B16．A三．解答题：（本大题共5题，满分74分）17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】（1）连AC、1AC．ABC是直角三角形，222425AC．1111DCBAABCD是长方体，BCCC1，CDCC1，又CBCDC，CC1平面ABCD，ACCC1．又在1ACCRt中，121AC，25AC，11CC，11118ABCDABCDV．--------6分（2）解法一：如图建立空间直角坐标系则14,0,1A、4,1,0M、14,2,1B、2,2,0N，所以10,1,1AM、12,0,1BN，10分则向量1AM与1BN所成角满足111110cos10AMBNAMBN．异面直线MA1与NB1所成的角等于10arccos10．14分AxBMNCyD1A1B1C1DzENMD1C1B1A1DCBA解法二：取AD的中点E，连EA1、EM．11////BAABEN，四边形NEBA11为平行四边形，NBEA11//，MEA1等于异面直线MA1与NB1所成的角或其补角．----------------------------------------9分1AM，2AE，11AA，得12AM，15AE，5EM，125510cos10225EAM，110arccos10EAM．异面直线MA1与NB1所成的角等于10arccos10．----------------------------14分18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】（1）10AB（公里），BCD中，由00sin45sin30BDBC，得52BC（公里）-------------------2分于是，由10526051.215020知，快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处．---------------------------------------6分（2）在ABD中，由22211010210103002AD，得103AD（公里），------------------------------------------------------------8分在BCD中，0105CBD，由0052sin105sin30CD，得513CD（公里），-----------------------------------------------------10分由10351360152015345.9851.2160（分钟）知，汽车能先到达C处．-----------------------------------------------------------14分19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】(1)38,[8,1]38,[73,136]xxyxx；------------------------------------------------------6分(2)01若302t，即0t，则yfx在定义域上单调递增，所以具有反函数；---8分02若3152t，即10t，则yfx在定义域上单调递减，所以具有反函数；--10分03当33122t，即28t时，由于区间0,3关于对称轴32t的对称区间是33,3tt，于是当312332tt或33153122tt，即2,4t或6,8t时，函数yfx在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数．综上，(,0][2,4)(6,8][10,)t．------------------------------------------14分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)【解】(1)设00(,)Nxy，由于(2,0),(2,0)AB，所以2000232000222yyykkxxx，因为00(,)Nxy在椭圆C上，于是220012xy，即220022xy，所以202320122ykkx.------------------------------------------------------------------4分(2)设直线2:2MNxmy，1122(,),(,)MxyNxy，由222222xmyxy得223(2)202mymy，于是12122223,222myyyymm，------------------------------------6分12121321212122232922yyyykkxxmyymyy222222233221239633229322222222mmmmmmmmm．10分(3)由于直线MN与x轴的交点为(,0)t，于是:MNxmyt，联立直线:MNxmyt与椭圆22:12xCy的方程，可得222(2)220mymtyt，于是212122222,22mttyyyymm.-------------------------------------------------12分因为直线11:(2)2yAMyxx，直线22:(2)2yBNyxx，两式相除，可知1212122112212122(2)2222(2)xymytymyytyxyyxxmytmyyty