§18.2--隐函数组--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、隐函数组概念二、隐函数组定理三、反函数组与坐标变换隐函数组的存在性、连续性与可微性是函数方程组求解问题的理论基础.利用隐函数组的一般思想,又可进而讨论反函数组与坐标变换等特殊问题.§2隐函数组数学分析第十八章隐函数定理及其应用*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社隐函数组概念设有一组方程(,,,)0,(1)(,,,)0,FxyuvGxyuv则称由(1)确定了隐函数组之对应,其中定义在4R.VFG与使得对于任给的(,),xyD()u,vE与有唯一的(,),(,),(,),(,),uuxyxyDuvEvvxy§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换后退前进目录退出2,R,DE若存在(,,,),(1),xyuvV且满足方程组能使数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社并有(,,(,),(,))0,(,).(,,(,),(,))0,FxyuxyvxyxyDGxyuxyvxy关于隐函数组的一般情形(含有m+n个变量的m个方程所确定的n个隐函数)，细讨论．首先来看看,若由方程组(1)能确定两个可微的隐函数(,)(,),uuxyvvxy与足何种条件呢?§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换在本章不作详GF、应满则函数数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社不妨先设都可微,由复合求导法,通过对(1)GF、分别求关于x与关于y的偏导数,得到0,(2)0;xuxvxxuxvxFFuFvGGuGv0,(3)0.yuyvyyuyvyFFuFvGGuGv能由(2)与(3)唯一解出的充要),(),(yyxxvuvu与条件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即def0.(4,)()(,)uvuvFFFGJGGuv§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社由此可见，只要具有连续的一阶偏导数，GF、其中是满足(1)的某一,00PJ00000(,,,)Pxyuv初始点,内(4)式成立．根据以上分析,便有雅可比（Jacobi,C.G.J.1804-1851,德国）§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换下述隐函数组定理.且,)(0PU则由保号性定理，使得在此邻域数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社定理18.4（隐函数组定理）隐函数组定理(i)在以点为内点的某区域上连续;),,,(00000vuyxP4RV(ii)(初始条件);0)()(00PGPF(iii)在V内存在连续的一阶偏导数；(iv).0),(),(00PPvuGFJ满足下列条件：设方程组(,,,)0,(,,,)0,FxyuvGxyuv则有如下结论成立：§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社定理18.4（隐函数组定理）;)(),(,)(),(,),(,),(00WUvuQUyxyxvvyxuu(,,(,),(,))0,(,,(,),(,))0,FxyuxyvxyGxyuxyvxy.)(),(0QUyx且满足000000(,),(,)uuxyvvxy以及1必定存在邻域,)()()(000VWUQUPU其中0000000(,),(,),1QxyWuvUP使得在上方程0UQ唯一确定了定义在上的两个二元隐函数.§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社定理18.4（隐函数组定理）2o(,),(,)uxyvxy在上连续.0()UQ3o(,),(,)uxyvxy在上存在一阶连续偏导数,且有0()UQ1(,),(,)1(,).(,)vFGxJuxvFGyJuy1(,),(,)1(,);(,)uFGxJxvuFGyJyv本定理的详细证明从略(第二十三章有一般隐函数定理及其证明),下面只作一粗略的解释:§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社①由方程组(1)的第一式确定隐(,,,)0Fxyuv函数(,,),uxyv且有,,.xxuyyuvvuFFFFFF(,,)(,,(,,),)0.HxyvGxyxyvv(,,)uxyv②将代入方程组(1)的第二式,得(,,(,))(,).uxyvxyuxy(,),vvxy③再由此方程确定隐函数并代回至这样就得到了一组隐函数(,),(,).uuxyvvxy§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社通过详细计算,又可得出如下一些结果:,;xxuxvuvvHGGHGGxvxuvx1(,);(,)yvyuFGvyJyvL§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换xvxuxuuuvvFFGGFFGGL1(,),(,)FGJxvxvxuuvFFHFFH数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社1(,)1(,),.(,)(,)vFGvFGxJuxyJuy同理又有(,,)(,,(,,),)0.HxyvGxyxyvv(,,(,))(,).uxyvxyuxy§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换0,18.4iv0,,PFGyv若将定理条件改为注1,,,.yyuvvvux能确定的隐函数组是则方程组数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社例1设有方程组22240,(5)50.xyyzxyyzz0(1,2,1)P试讨论在点的近旁能确定怎样的隐函0P数组？并计算各隐函数在点处的导数.2224,(,,)5(,,),xyyzFxyzxyyzzGxyz0P解易知点满足方程组(5).设§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换它们在上有连续的各阶偏导数.3R0P在点关于所有变量的雅可比矩阵,FG再考察数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社0xyzPxyzFFFGGG224.424022(,)40,(,)42PFGxy由于042(,)80,(,)44PFGzx024(,)0,(,)24PFGyz§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换022222Pyxzyzxyxzyz(),(),(),();xxzzzyyyzxxy与0P因此由隐函数组定理可知,在点近旁可以唯一地确定隐函数组:但不能肯定y,z可否作为x的两个隐函数.数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社00d(,)(,)(,)d(,)PPxFGFGzyzxy00d(,)(,)(,)d(,)PPyFGFGxzzxy3o0P运用定理18.4的结论,可求得隐函数在点处的导数值:§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换00,4(8)2;400d41(,)(,),(,)d82(,)PPzFGFGyxyzx00d0(,)(,)0.(,)d8(,)PPxFGFGzyyzx数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社0140.yyPx*注通过详细计算,还能求得这说明处取极大值,()2xxyy在0P在点的任意小邻域内,对每一个x的值,会有多个y的值与之对应.也会有多个z的值与之对应.0P近旁不能唯一确定以x作为自变量的隐函数组.§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换类似地,对每一个x的值,从而知道所以方程组(5)在点数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社例2设函数具有连续的偏导数,(,),(,)fxygxy2(,),(,)0ufuxvyguxvy(,)(,)uuxyvvxy与是由方程组,.uvxy所确定的隐函数组.试求xyuvxyuvFFFFGGGG2(,),(,),FufuxvyGguxvy解设有由此计算所需之雅可比行列式:§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换1212212121.2uffxffgvggvyg数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社121212uvxffJgvyg12122xvuffJgvyg122121uyxffJgvg于是求得§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换2122122,vygxyvfgfg12212,yuvfgfg2221221.vgxvfgfgxyuvxyuvFFFFGGGG1212212121.2uffxffgvggvyg1221212212,22xvuvJyuvfgfguxJyvgxyvfgfg221221221221.22uyuvJxvfgfgvgvyJyvgxyvfgfg数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社注计算隐函数组的偏导数(或导数)比较繁琐,要学懂前两例所演示的方法(利用雅可比矩阵和雅可比行列式),掌握其中的规律.“精心＋细心＋耐心”.§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换这里特别需要数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社反函数组与坐标变换().BTB象集为T1?T何种条件时,存在逆变换即存在(),;QTPPBB写成点函数形式,即为并记的设有一函数组2(,),(,),(,)(R),(6)uuxyvvxyxyB它确定了一个映射(或变换):(,)(,).PxyQuva2:R,TB§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换现在的问题是:函数组(6)满足数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社(,)(,)QuvPxya1((),),PTQQB或1:,TBB亦即存在一个函数组(,),(,),(,),(7)xxuvyyuvuvB((,),(,)),((,),(,)).uuxuvyuvvvxuvyuv使得满足这样的函数组(7)称为函数组(6)的反函数组.它的存在性问题可化为隐函数组的相应问题来处理.§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社定理18.5（反函数组定理）为此,首先把方程组(6)改写为(,,,)(,)0,(8)(,,,)(,)0.FxyuvuuxyGxyuvvvxy然后将定理18.4应用于(8),即得下述定理.0000000(,)(,),(,),0.(,)Puvuuxyvvxyxy000(,)PxyD导数,是的内点,§2隐函数组隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换设(6)中函数在某区域上具有连续的一阶偏2RD且2(,),(,),(,)(R)(6)uuxyvvxyxyB数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社定理18.5（反函数组定理）则在点的某邻域内,存在唯一000(,)Puv0()UP000000(,),(,);xxuvyyuv((,),(,)),((,),(,)).uuxuvyuvvvxuvyuv的一组反函数(7),使得0