§2.7.2数列通项公式的求法(二)

重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]§2.7.2数列通项公式的求法(二)§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]2教学目标：1.熟练掌握数列的概念及性质，明确给出数列的几种形式。从函数的观点来看待数列。2.熟练掌握等差、等比数列的概念、性质及公式。从方程的观点来看这两个典型数列。3.掌握数列通项公式的求法。教学重、难点：1.灵活应用与数列有关的公式解决有关问题2.掌握数列的递推问题§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]3构造等差、等比数列法对于一些递推关系较复杂的数列，可通过对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一个新的等比或等差数列，从而将问题转化为前面已解决的几种情形来处理。§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]4111232{},,.nnnnaanaaa例1.在数列中，当时，有求1222233233233233323332322332322()(nnnnnnaaaaaa）＋＋＝＋＋＋1nnapaqpq题型一：型(、为常数）【方法一】递推迭代法：.132131323223232331113211nnnnnna§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]51111111113(),32,32,1,113(1)31{1}131(1)3,231.nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa设则对比得于是，，得，即数列是首项为，公比为的等比数列，即()【方法二】待定系数法转化为等比数列§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]611322)32nnnnaanaa由递推关系，得：（11111211121113(),3}()3,3243,231.nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaa将上述两式相减，得:则，即{是首项为，公比为3的等比数列，即所以【方法三】辅助数列法(转化为等比数列)§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]71122322324332,1,32,323(32)23322323(33222332322nnaaaaaaaa由得：+＝）＝.132)1333(231321nnnnna猜想：【方法四】归纳、猜想与证明§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]81(1)()nnaafn累差求和法递推公式(突出转化成AP、GP)1(2)()nnaafn累商求积法1()(()nnafnfna即可求积)§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]9递推公式(突出转化成AP、GP)1(3)nnapaq构造等差或等比数列apan+1n法1:设+=(+)apaqaapaann-1n+1nnn-1法2:由已知与=+相减得:-=(-)§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]10递推公式(突出转化成AP、GP)1(4)(3)n+1n11取倒数得:+类似于nnnCaBAaAaBaCaC.}{,,,)(),(1111111的等比数列，而获解是公比为，于是、解得从而则可得可以变形为说明：＋nnnnnnnnnnnnaaqpaaaaaaaqapaa12(5)型nnnapaqa§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]11例1.已知数列{an}的递推关系为an+2-2an+1+an=4且a1=1，a2=3，求通项公式an。2124nnnaaa解：211()()4nnnnaaaa1nnnbaa令14nnbb则142nnnbaan1121(1)24nbbndbaad由，且§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]1221412aa22423aa23434aa2)1(41naann14[123(1)]2(1)naann3422naan142nnaan+)§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]13例2.已知，，且，求21a0na)(211Nnaaaannnnna1120nnnnnaaaaa解：且1112nnaa1112nnaa111542(1)2nnnaa254nan§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]1413nnnaa解：1213aa2233aa113nnnaa例3.数列{an}中,a1=2,an+1=3nan求通项公式an.把上面n-1个式子左右两边同时相乘得：2)1()1(321133nnnnaa(1)223nnna13nnnaa§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]15例4.已知a1=1，an=3an-1+2，求an解：用待定系数法及换元法对其进行转化为等比数列13()nnakak设即kaann231比较已知得k=-1)1(311nnaa数列{an+1}是首项a1+1=2，公比为3的等比数列1321nna1321nna原式可化为§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]16例5.已知求an1n11121(2)2naaann，解：设)1(21)(1ngangann则)1(21)(211ngngaann12)1(21)(nngng由于2n-1是关于n的一次式：令g(n)=kn+b12])1([21nbnkbkn即§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]1712)(2121nbkkn即6,4bk)]104([21)64(1nanann1{(46)}(416)3na-n-a-数列项为为等比数列由此知是首，1公比的211(46)3()2nnan11(46)3()2nnan§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]181()nnnapakqpq类型：n1nn1n-(-)aqpaq设为数(α待定系）n1nn1npq-pqaa则n1nnq-pqkq(q-p)k由此即kq-p)(11nnnnqpqkapqpqka§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]1911()nnnkkqaqpaqpqp开由逐次展得：nnnqpqkppqkqaa11)(nn1nn111pqq()nnkaaqaapqpqp时，可得§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]20nnn-1qkqpqaa类型：类型六（即五中）nn-1nn-1aakqq将变为：原式形qankqann1)1(nnnqnkqaa)1(11§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]21112122112112(),(),5,6,5602332(3)23(2)【解】用待定系数法设即即、是方程的两根，＝，＝，或nnnnnnnnnnnnnnnaβaαaβaaαβaαβaαβαβαβxxαβaaaaaaaa1212{}1,2,56,.例7.已知数列中，求数列的通项nnnnnaaaaaaa.2:2132)2(03)2(2)1(22)3(31212122121nnnnnnnnnaaaaaaaaa得）（）（11222.也可以直接由（）得：nnnnaaa§2.7.2数列通项公式的求法(二)2020/3/14重庆市万州高级中学曾国荣[e-mail]22na12215521,,,(1,2,)333nnnaaaaan1,(1,2,)nnnbaannbnnan1.（2004重庆高考题）设数列满足：（1）令求数列的通项公式.的前项和.（3）求数列（2）求数列的通项公式.na书面作业