几类积分方程的可解性问题

1引言积分方程是未知函数出现在积分号内的方程，解方程的问题就是要确定这个函数，我们在分析学中遇到的积分方程，少部分可以转化成微分方程直接解出，但这种转化对绝大多数积分方程却行不通．积分方程作为数学的一个分支，最早出现在十九世纪三十年代，直到十九世纪末才由Fredholm和Volterra开创了两种类型积分方程理论的先河，此后，有许多人致力于这个方向的研究．关于积分方程可解性问题的研究，虽然一些著作和文献中有作相应介绍[13]，但不够系统也欠完善．因此本文就此问题进行专门讨论，首先将积分方程作相应分类，其次对积分方程与微分方程之间的相互联系进行阐述，然后推广并证明了几类较为典型的积分方程解的存在唯一性．最后，作为Fredholm定理的应用，讨论了一些积分方程的可解性及求解方法．1积分方程相关知识1.1积分方程的基本概念[1]一般说来，一个在积分号下出现待求函数的方程，称为积分方程．含一个未知函数的积分方程的一般形式为()()(,)[()]()(),baaxxkxsFsdsfxaxb式中(),fx(),ax(,)kxs为已知函数，[()]Fs是()s的已知泛函，,ab为常数．()fx称为自由项，(,)kxs称为积分方程的核，是参数．由于积分方程往往与特征值问题有关，因此通常把积分方程记为上述含参数的形式．方程可能仅对的某些值有解，也可能根本没有解．当[()]Fs是()s的线性泛函时，称为线性积分方程，它的一般形式为()()(,)()()baaxxkxssdsfx．若[()]Fs是()s的非线性泛函，则称为非线性积分方程．如果自变量的个数有2个或2个以上，称为多维积分方程．21.2积分方程的分类[13]积分方程可分为线性方程与非线性方程．对于线性积分方程又可以进一步加以分类，按方程的形式分类，可以分为第一类、第二类方程．若未知函数()x仅出现在积分号内，称为第一类方程；若未知函数()x既出现在积分号内，又出现在积分号外，则称为第二类方程；若积分限是常数，称为Fredholm方程；若积分限当中有一个是变量，则称为Volterra方程．例如方程(,)()()0bakxssdsfx称为第一类Fredholm方程；方程()(,)()()baxkxssdsfx称为第二类Fredholm方程；方程(,)()()0xakxssdsfx称为第一类Volterra方程；方程()(,)()()xaxkxssdsfx称为第二类Volterra方程．积分方程还可以按核的性质加以分类．若(,)kxs是,axsb上的连续函数，或者(,)kxs在区域,axsb虽不连续，但平方可积，即2(,)bbaakxsdxds，则称(,)kxs为非奇异核或Fredholm核；若(,)(,)hxskxsxs，01且(,)hxs有界，则(,)kxs称为弱奇异核；若(,)(,)axskxsxs，(,)axs关于x,s的偏导数存在，则(,)()bakxssds(,)()baaxssdsxs在通常意义下是发散的，但如果对()x加上一定的限制，可使0lim[(,)()(,)()]xbaxkxssdskxssds存在，则称(,)kxs为Cauchy奇异核．以上三种核所对应的方程，分别称为非奇异核（连续核）积分方程、弱奇异核积分方程、奇异核积分方程．弱奇异核积分方程的理论与非奇异核积分方程的理论类似，但奇异核积分方程的理论与非奇异核方程的理论有本质的差别．使非奇异核积分方程的一般理论不成立的一类积分方程，统称为奇异核积分方程，除了上述含Cauchy奇异核的方程外，它还包括积分限至少有一个为无限的积分方程，例方程0()()sinxsxsds等等．3上述各种分类并不能包罗所有可能的积分方程，提出上述这些类型的出发点是，在实际问题或理论问题中出现的积分方程绝大部分可以归入上述方程中的某一类．2积分方程和微分方程的相互关系2.1微分方程转化成积分方程[45]由于求导和积分是一个互逆的过程，有些微分方程就可以通过解积分方程得到．利用微分方程与积分方程的等价性，相互转化后求解，可以避免直接计算带来的烦琐，下面先就一类一阶常微分方程和积分方程的等价性定理给出证明．定理2.1.1若(,)fxy在2R上连续，则具初值问题的一阶常微分方程00(,)()dyfxydxyxy可以化为积分方程0yy0(,)xxfxydx．证明结论是显然的．定理2.1.2系数()(1,2,,)iaxin连续的n阶常微分方程111()()()nnnnndydyaxaxyFxdxdx满足初始条件(1)011(0),(0),,(0)nnyCyCyC的定解问题，可以化为解第二类Volterra积分方程．证明以二阶微分方程为例来加以证明．对于二阶方程的初值问题212201()()()(0),(0)dydyaxaxyFxdxdxyCyC．设22()dyxdx，上式两端关于x积分，并利用01(0),(0)yCyC，依次得到10()xdysdsCdx，1010000[()]()xuxxsysdsCduCdssduCxC100()()xxssdsCxC，利用上面两式，可将定解问题化为积分方程40()(,)()()xxkxssdsfx，其中12(,)[()()()]kxsaxaxxs，111202()()()()()fxFxCaxCxaxCax．求解上式积分方程，再把解代入100()()xyxssdsCxC中就可以得到定解问题的唯一解．对于n阶微分方程的初值问题，类似上述方法，并利用下列公式000011()()()(1)!xxxxnxxxxdxdxfxdxxsfsdsn，也化为等价的第二类Volterra积分方程．例2.1.1确定下列定解问题20(0)12,(0)(0)1yxyyyy所对应的积分方程．解设()xy，根据定理2.1.2及初始条件，并对其作三次积分依次可得0()1xytdt，0()()1xyxssdsx，220111()()222xyxssdsxx．将以上三式代入原微分方程，得2320()()()2xxxxssdsxxx．显然，这是第二类Volterra积分方程．定理2.1.3具边值问题的二阶常微分方程220(0)0,(1)0dyydxyy可以化成为第二类Fredholm方程．证明令22()dyxdx，上式两边关于x积分，得10()xdysdsCdx，两边再关于x积分，有1200()[()]xuyxsdsduCxC，然后变换积分顺序，得121200()()()()xxxsyxsdsduCxCxssdsCxC．由边值条件知，20C且110(1)()0ssdsC，因此110(1)()Cssds，于是，100()()()(1)()xyxxssdsxssds，进一步推得10()[(1)()(1)()]xxyxsxsdsxssds，将上述()yx代入原方程可得第二类Fredholm方程510()(,)()xGxssds，其中(1),0(,)(1),1sxsxGxsxsxs，注意，(,)Gxs具有对称性(,)(,)GxsGsx．例2.1.2确定下列边值问题3cos(0)0,()0yyxyy所对应的积分方程．解由定理2.1.3知121200()()()()xxxsyxsdsduCxCxssdsCxC，由边值条件知，20C且10()()0ssdsC，因此101()()Cssds，于是，001()()()()()xyxxssdsxssds，进一步有0()[(1)()(1)()]xxxsyxssdsxsds，将上述()yx代入原方程可得0()3(,)()cosxkxssdsx，其中(1),0(,)(1),sxsxkxsxsxs．上式就是边值问题所对应的第二类Fredholm方程．2.2积分方程转化为微分方程[6]在这一节中将讨论把含变限的积分方程的求解问题转化为微分方程进行求解，其理论依据由以下定理给出．定理2.2.1若(,)fxy连续，()gx可导，则()yx是积分方程0()(,)xxygxftydt的连续解的充分必要条件是()yx是一阶微分方程()(,)dygxfxydx满足初始条件00()()yxgx的解．例2.2.1解积分方程24013xxyydxxy．解积分方程可化为243(0)1dyxydxxyy，将上述方程变形为2223()dyyxydxyx．令62yzx，则2dyzxdzdxydx，代入得2331zdzdxzzx，两边同时积分得，211cxzz即6420cyyx．再将(0)1y代入解得1c，故原方程的解为6420yyx．例2.2.2解积分方程0()()xxxtdte．解设0()xytdt，则(0)0y，且()xxye，于是()xyxye．这样，原积分方程化为常微分方程的定解问题(0)0xyyey．解之得xyxe．再由式()xxye，就得到原积分方程的解()(1)xxxxxeexe．定理2.2.2若()fx连续，()gx可导，则()fx是含参变量的积分方程()()fxgx0()xxfxtdt的解的充要条件为()fx是微分方程0()()()fxgxfxx满足初始条件00()()fxgx的解．证明必要性：若()fx是积分方程的解，即0()()()xxfxgxfxtdt．令uxt，则00000()()()(),xxxxxxfxtdtfudufudu00()()()xxfxgxfudu．因()fx连续，故00()xxfudu可导，又()gx可导，故()fx可导．对上式两边求导得0()()()fxgxfxx，又由积分方程得00()()fxgx，故()fx是微分方程满足初始条件00()()fxgx的解．充分性：若()fx是微分方程0()()()fxgxfxx满足初始条件00()()fxgx的解，则0()()()fxgxfxx，两边从0x到x取定积分得0000()()()()()xxfxfxgxgxftxdt，即00()()()xxfxgxftxdt．令0txxu，则000()()()()()()()()xxxxxxfxgxfxudugxfxudugxfxtdt，故()fx是方程的解．例2.2.3设()fx二阶导数连续，并满足0()(2)2xfxftdt，求()fx．解方程两边对x求导得()(2)fxfx，再求导得()(2)fxfx．7由()(2)fxfx得，(2)[2(2)]()fxfxfx，再代入()(2)fxfx中得，()()0fxfx，所以12()cossinfxcxcx．又(0)2,(0)(2)fff，即得()2cos(2)sinfxxfx．例2.2.4求满足方程00()()xxftdtxtfxtdt的可导函数()fx．解令uxt，则0000()()()()()xxxxtfxtdtxufudux