排列(优质课课件)

排列1.2.1排列分类加法计数原理如果完成一件事情有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法。nmmmN21分步乘法计数原理完成一件事情需要有n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步时有mn种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。nmmmN21上午下午相应的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？探究：把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题１就可以叙述为：从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？1234443322444333111244431112224333111222叙述为:从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432。问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名参加上午的活动,1名参加下午的活动,有多少不同的排法?原问题即：从3名同学中,任取2名,按参加上午的活动在前,下午的活动在后的顺序排成一列,有哪些不同的排法？实质是：从3个不同的元素中,任取2个,按一定的顺序排成一列,有哪些不同的排法？问题2从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？原问题即：从4个不同的数字中,任取3个,按照左边,中间,右边的顺序排成一列,写出所有不同的排法.实质是：从4个不同的元素中,任取3个,按照一定的顺序排成一列,写出所有不同的排法.定义：一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.(一取二排)基本概念1、排列：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。说明：1、元素不能重复。2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，可以采用“树形图”。（有序性）（互异性）1、元素不能重复。2、“按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一个问题是否是排列问题的关键。排列的特征你能归纳一下排列的特征吗？思考:下列问题中哪些是排列问题？（1）10名学生中抽2名学生开会（2）10名学生中选2名做正、副组长（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除（5）有10个车站,共需要多少种车票？（6）有10个车站,共需要多少种不同的票价?练习1下列问题是排列问题吗？（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？（从中归纳这几类问题的区别）是排列不是排列是排列是排列不是排列是排列练习3.写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有排列．解决办法是先画“树形图”，再由此写出所有的排列，共20个．若把这题改为：写出从5个元素a，b，c，d，e中任取3个元素的所有排列，结果如何呢？方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“啰嗦”．练习2.在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果．ABACADBABCBDCACBCDDADBDC研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？接下来我们将来共同探讨这个问题：排列数及其公式．2、排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号表示。mnA“排列”和“排列数”有什么区别和联系？排列数，而不表示具体的排列。所有排列的个数，是一个数；mn“排列数”是指从个不同元素中，任取个元素的mnA所以符号只表示nm“一个排列”是指：从个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素23326A问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的排列数，记为,已经算得23A3443224A问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为，已经算出34A探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？2nA呢？mnA呢？3nA第2位第1位nn-1)1(2nnAn2nA探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？2nA第2位第1位nn-1第3位n-2)2)(1(3nnnAn3nA第2位第1位nn-1第3位n-2第m位……n-m+1)1()2)(1(mnnnnAmnmnA(1)排列数公式（1）：)*,,)(1()2)(1(nmNnmmnnnnAmn当m＝n时，123)2)(1(nnnAnn正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示。!nn个不同元素的全排列公式：!nAnn(2)排列数公式（2）：)!(!mnnAmn说明：1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。为了使当m＝n时上面的公式也成立，规定：1!02、对于这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。nm(1)(2)(1)mnnnnnmA排列数公式：mnn!(mn,m,nN)(nm)!A)Nnm,n,(m常用于计算含有数字的排列数的值常用于对含有字母的排列数的式子进行变形和论证10！规定：n2345678n!2624120720504040320316A66A46A例1.计算（1）（2）（3）3161615143360A666!720A466543360A解：（1）（2）（3）有关排列数的计算与证明巩固练习：1181798,___,___mnAnm、如果则255566869,()()()()nNnnnn、若则用排列数符号表示为__________332310,_____nnAAn、如果则由n=18，n-m+1=8，得m=111569nA).1(8)2)(1(10)22)(12(2nnnnnnnn舍即计算：;)1(316A336014151656789101112567891011126！=6×5×4×3×2×1=720;)2(712812AA.)3(66A)!1(1)!1(1!1)5()!1)(45423452451nnnmnmn）（！，（）（）！）（！，（）化简：（练习！）答：（51!20)2(!7)3()!)(4(mn)!1(2)5(2nnn小结:1.排列的定义;(不同元素)2.排列数公式;mnA=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)mnn!A=(n-m)!排列应用题例1、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是1821314214A例2（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？3560A=(种)35125=(种)排列数分步乘法计数原理例3：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？百位十位个位解法一：对排列方法分步思考。648899181919AAA6488992919AA从位置出发解法二：对排列方法分类思考。符合条件的三位数可分为两类：百位十位个位A390百位十位个位A290百位十位个位A2964822939AA根据加法原理从元素出发分析解法三：间接法.从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为，A310.648898910A310A29∴所求的三位数的个数是其中以0为排头的排列数为.A29逆向思维法（1）直接计算法：即把符合限制条件的排列数直接计算出来，此种算法又可分为先考虑特殊元素还是先考虑特殊位置两种方法。（2）间接计算法：即先不考虑限制条件，把所有排列种数算出。再从中减去全部不符合条件的排列种数，间接得出符合条件的排列种数。排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．小结