2015年高考试题数学文(新课标1卷)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文数一、选择题：每小题5分,共60分1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}AxxnnNB，则集合AB中的元素个数为（A）5（B）4（C）3（D）2【答案】D【解析】试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8,14},故选D.[来源:学优高考网]考点：集合运算2、已知点(0,1),(3,2)AB，向量(4,3)AC，则向量BC（A）(7,4)（B）(7,4)（C）(1,4)（D）(1,4)【答案】A考点：向量运算3、已知复数z满足(1)1zii，则z（）（A）2i（B）2i（C）2i（D）2i【答案】C【解析】试题分析：∴(1)1zii，∴z=212(12)()2iiiiii，故选C.考点：复数运算4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）（A）310（B）15（C）110（D）120【答案】C【解析】试题分析：从1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110，故选C.[来源:学优高考网gkstk]考点：古典概型5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线2:8Cyx的焦点重合，,AB是C的准线与E的两个交点，则AB（A）3（B）6（C）9（D）12【答案】B考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则12384r=163r，所以米堆的体积为211163()5433=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.考点：本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式7、已知{}na是公差为1的等差数列，nS为{}na的前n项和，若844SS，则10a（）（A）172（B）192（C）10（D）12【答案】B【解析】试题分析：∵公差1d，844SS，∴11118874(443)22aa，解得1a=12，∴1011199922aad，故选B.考点：等差数列通项公式及前n项和公式8、函数()cos()fxx的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为（）（A）13(,),44kkkZ（B）13(2,2),44kkkZ（C）13(,),44kkkZ（D）13(2,2),44kkkZ【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知，1+4253+42，解得=，=4，所以()cos()4fxx，令22,4kxkkZ，解得124k＜x＜324k，kZ，故单调减区间为（124k，324k），kZ，故选D.考点：三角函数图像与性质9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t，则输出的n（）（A）5（B）6（C）10（D）12【答案】C考点：程序框图10、已知函数1222,1()log(1),1xxfxxx，且()3fa，则(6)fa（A）74（B）54（C）34（D）14【答案】A【解析】试题分析：∵()3fa，∴当1a时，1()223afa，则121a，此等式显然不成立，当1a时，2log(1)3a，解得7a，∴(6)fa(1)f=117224，故选A.考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则r()（A）1（B）2（C）4（D）8【答案】B【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为22142222rrrrrr=2254rr=16+20，解得r=2，故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12、设函数()yfx的图像与2xay的图像关于直线yx对称，且(2)(4)1ff，则a()（A）1（B）1（C）2（D）4【答案】C【解析】试题分析：设(,)xy是函数()yfx的图像上任意一点，它关于直线yx对称为（,yx），由已知知（,yx）在函数2xay的图像上，∴2yax，解得2log()yxa，即2()log()fxxa，∴22(2)(4)log2log41ffaa，解得2a，故选C.考点：函数对称；对数的定义与运算二、填空题：本大题共4小题,每小题5分[来源:学优高考网gkstk]13、数列na中112,2,nnnaaaS为na的前n项和，若126nS，则n.【答案】6【解析】试题分析：∵112,2nnaaa，∴数列na是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612nnS，∴264n，∴n=6.考点：等比数列定义与前n项和公式14.已知函数31fxaxx的图像在点1,1f的处的切线过点2,7，则a.【答案】1【解析】试题分析：∵2()31fxax，∴(1)31fa，即切线斜率31ka，又∵(1)2fa，∴切点为（1，2a），∵切线过（2,7），∴273112aa，解得a1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；15.若x,y满足约束条件20210220xyxyxy,则z=3x+y的最大值为．【答案】4【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l：30xy，平移直线0l，当直线l:z=3x+y过点A时，z取最大值，由2=021=0xyxy解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4.考点：简单线性规划解法16.已知F是双曲线22:18yCx的右焦点，P是C左支上一点，0,66A，当APF周长最小时，该三角形的面积为．【答案】126[来源:学优高考网]考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题三、解答题17.（本小题满分12分）已知,,abc分别是ABC内角,,ABC的对边，2sin2sinsinBAC.（I）若ab，求cos;B（II）若90B，且2,a求ABC的面积.【答案】（I）14（II）1【解析】试题分析：（I）先由正弦定理将2sin2sinsinBAC化为变得关系，结合条件ab，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B的余弦值；（II）由（I）知22bac=，根据勾股定理和即可求出c，从而求出ABC的面积.试题解析：（I）由题设及正弦定理可得22bac=.又ab=，可得2bc=,2ac=,由余弦定理可得2221cos24acbBac+-==.（II）由(1)知22bac=.因为B=90°，由勾股定理得222acb+=.故222acac+=，得2ca==.所以DABC的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18.（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BEABCD平面，（I）证明：平面AEC平面BED；（II）若120ABC，,AEEC三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.【答案】（I）见解析（II）3+25试题解析：（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC^BD，因为BE^平面ABCD，所以AC^BE，故AC^平面BED.又ACÌ平面AEC，所以平面AEC^平面BED（II）设AB=x，在菱形ABCD中，由ÐABC=120°，可得AG=GC=32x,GB=GD=2x.因为AE^EC，所以在RtDAEC中，可得EG=32x.由BE^平面ABCD，知DEBG为直角三角形，可得BE=22x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积3116632243EACDVACGDBEx-=醋?=.故x=2从而可得AE=EC=ED=6.所以DEAC的面积为3，DEAD的面积与DECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力19.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费ix和年销售量1,2,,8iyi数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw21()niixx21()niiww1()()niiixxyy1()()niiiwwyy46.656.36.8289.81.61469108.8表中w1=x1,，w=181niiw（I）根据散点图判断，yabx与ycdx，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为0.2zyx，根据（II）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费90x时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11(,)uv,22(,)uv，……，(,)nnuv,其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()=()niiiniiuuvvuu，=vu【答案】（Ⅰ）ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型（Ⅱ）100.668yx（Ⅲ）46.24【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令wx，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20.（本小题满分12分）已知过点1,0A且斜率为k的直线l与圆C：22231xy交于M，N两点.（I）求k的取值范围；（II）12OMON，其中O为坐标原点，求MN.【答案】（I）4747,33骣-+琪琪桫（II）2【解析】试题分析：（I）设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k的不等式，即可求出k的取值范围；（II）设1122M(,y),N(,y)xx，将直线l方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理将1212,xxyy用k表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OMON列出关于k方程，解出k，即可求出|MN|.试题解析：（I）由题设，可知直线l的方程为1ykx=+.因为l与C交于两点，所以2|231|11kk-++.解得474733k-+.所以k的取值范围是4747,33骣-+琪琪桫.