复数1.复数的概念:(1)虚数单位i;(2)复数的代数形式z=a+bi,(a,b∈R);(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2.复数集整数有理数实数(0)分数复数(,)无理数(无限不循环小数)纯虚数(0)虚数(0)非纯虚数(0)babiabRaba3.复数a+bi(a,b∈R)由两部分组成,实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部,1与i分别是实数单位和虚数单位,当b=0时,a+bi就是实数,当b≠0时,a+bi是虚数,其中a=0且b≠0时称为纯虚数。应特别注意,a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件,若a=b=0,则a+bi=0是实数。4.复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;(3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;(4)除法:11212211222222()()zaabbababizab;(5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。(6)特殊复数的运算:①ni(n为整数)的周期性运算;②(1±i)2=±2i;③若ω=-21+23i,则ω3=1,1+ω+ω2=0.5.共轭复数与复数的模(1)若z=a+bi,则zabi,zz为实数,zz为纯虚数(b≠0).(2)复数z=a+bi的模|Z|=22ab,且2||zzz=a2+b2.6.根据两个复数相等的定义,设a,b,c,d∈R,两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+diacbd.由这个定义得到a+bi=000ab.两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。4.复数a+bi的共轭复数是a-bi,若两复数是共轭复数,则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0,则实数a与实数a共轭,表示点落在实轴上。5.复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别,最主要的是在运算中将i2=-1结合到实际运算过程中去。如(a+bi)(a-bi)=a2+b26.复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。由于两个共轭复数的积是实数,因此复数的除法可以通过将分母实化得到,即22()()()()()abiabicdiacbdbcadicdicdicdicd.7.复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。(二)典型例题讲解1.复数的概念例1.实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m-1)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)对应的点Z在第三象限?解:复数z=m+1+(m-1)i中,因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数,它们分别是z的实部和虚部,∴(1)m=1时,z是实数;(2)m≠1时,z是虚数;(3)当1010mm时,即m=-1时,z是纯虚数;(4)当1010mm时,即m-1时,z对应的点Z在第三象限。例2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,求x,y.解:根据复数相等的意义,得方程组211(3)xyy,得x=25,y=4.例4.当m为何实数时,复数z=2223225mmm+(m2+3m-10)i;(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数.解:此题主要考查复数的有关概念及方程(组)的解法.(1)z为实数,则虚部m2+3m-10=0,即223100250mmm,解得m=2,∴m=2时,z为实数。(2)z为虚数,则虚部m2+3m-10≠0,即223100250mmm,解得m≠2且m≠±5.当m≠2且m≠±5时,z为虚数.22223203100250mmmmm,解得m=-21,∴当m=-21时,z为纯虚数.诠释:本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件,还应特别注意分母不为零这一要求.例5.计算:i+i2+i3+……+i2005.解:此题主要考查in的周期性.i+i2+i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+i2003+i2004)+i2005=(i-1-i+1)+(i-1-i+1)+……+(i-1-i+1)+i=0+0+……+0+i=i.或者可利用等比数列的求和公式来求解(略)诠释:本题应抓住in的周期及合理分组.例8.使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立的实数m=.解:此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法.∵m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10,且虚数不能比较大小,∴2221030430mmmmm,解得||100或33或1mmmmm,∴m=3.当m=3时,原不等式成立.诠释:本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。例9.已知z=x+yi(x,y∈R),且222log8(1log)xyixyi,求z.解:本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程,对数方程的解法.∵222log8(1log)xyixyi,∴22280log1logxyxy,∴32xyxy,解得21xy或12xy,∴z=2+i或z=1+2i.诠释:本题应抓住复数相等的充要条件这一关键,正确、熟练地解方程(指数,对数方程)例10.已知x为纯虚数,y是实数,且2x-1+i=y-(3-y)i,求x、y的值.解:本题主要考查复数的有关概念,实数与i的运算,复数相等的充要条件,方程组的解法.设x=ti(t∈R,且t≠0),则2x-1+i=y-(3-y)i可化为2ti-1+i=y-(3-y)i,即(2t+1)i-1=y-(3-y)i,∴21(3)1tyy,∴y=-1,t=-25,∴x=-25i.2.复数的四则运算例1.计算:(1)22(1)(1)(1)nnii,n∈N+;(2)若ω=-21+23i,ω3=1,计算6633()()22ii;(3)2(32)(52)(53)(23)(25)iiiii;(4)S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99.解:(1)22(1)(1)(1)nnii=2212(1)2[](1)()(2)(1)2(1)2nnniiiiiii=221,22,inkkNinkkN.(2)6633()()22ii=6666261313()()[()]22iiiii=-2.(3)由于3223iii,5225iii,∴2(32)(52)(53)(23)(25)iiiii=222|(53)||(53)|(53)iiii=8.(4)S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99)=(1+2i-3-4i)+(5+6i-7-8i)+……+(97+98i-99-100i)=25(-2-2i)=-50-50i.例2.已知复数z满足|z-2|=2,z+4z∈R,求z.解:设z=x+yi,x,y∈R,则z+4z=z+22222244()44()zxyixyxyixyizzxyxyxy,∵z+4z∈R,∴224yyxy=0,又|z-2|=2,∴(x-2)2+y2=4,联立解得,当y=0时,x=4或x=0(舍去x=0,因此时z=0),当y≠0时,13xy,z=1±3,∴综上所得z1=4,z2=1+3i,z3=1-3i.例3.设z为虚数,求证:z+1z为实数的充要条件是|z|=1.证明:设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),于是z+1z=(a+bi)+2222221()()abiababiabiabiababab,所以b≠0,(z+1z)∈Rb-22bab=0a2+b2=1|z|=1.例4.复数z满足(z+1)(z+1)=|z|2,且11zz为纯虚数,求z.解:设z=x+yi(x,y∈R),则(z+1)(z+1)=|z|2+z+z+1=|z|2,∴z+z+1=0,z+z=-1,x=-21.11zz=22(1)(1)||1(1)(1)|1|zzzzzzzz=2221|1|xyxyixyiz为纯虚数,∴x2+y2-1=0,y=±23,∴z=-21+23i或z=-21-23i.例5.复数z满足(1+2i)z+(3-10i)z=4-34i,求z.解:设z=x+yi(x,y∈R),则(1+2i)(x+yi)+(3-10i)(x-yi)=4-34i,整理得(4x-12y)-(8x+2y)i=4-34i.∴41248234xyxy,解得41xy,∴z=4+i.例6.设z是虚数,ω=z+1z是实数,且-1ω2,(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=11zz,求证u为纯虚数;(3)求ω-u2的最小值。解:(1)设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则ω=2222()()ababiabab,由于ω是实数且b≠0,∴a2+b2=1,即|z|=1,由ω=2a,-1ω2,∴z的实部a的的取值范围是(-21,1).(2)u=11zz=222211221(1)1abiabbibiabiaba,由于a∈(-21,1),b≠0,∴u是纯虚数。(3)ω-u2=2a+22221122221(1)(1)11baaaaaaaaa=12[(1)]31aa,由于a∈(-21,1),∴a+10,则ω-u2≥2×2-3=1,当a+1=11a,即a=0时,上式取等号,所以ω-u2的最小值为1.例7.证明:iziz=1.解:此题考查复数的运算、模的定义,共轭复数的性质等.设z=a+bi,(a,b∈R),则iziz=2222(1)(1)1(1)(1)abiabiabiiabiabiab.解2:∵iziziz,∴iziz=()1iziziziz.