概率论与数理统计第三章测试题

1第3章多维随机变量及其分布一、选择题1．设,XY是相互独立的随机变量，其分布函数分别为,XYFxFy，则min,ZXY的分布函数是（）(A)max,ZXYFzFzFz(B)min,ZXYFzFzFz(C)111ZXYFzFzFz(D)ZYFzFy2．设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则（A）21)0(YXP（B）21)1(YXP（C）21)0(YXP（D）21)1(YXP3．设二维随机变量,XY服从于二维正态分布，则下列说法不正确的是（）(A),XY一定相互独立(B),XY的任意线性组合12lXlY服从于一维正态分布(C),XY分别服从于一维正态分布(D)当参数0时，,XY相互独立4．,相互独立且在0,1上服从均匀分布，则使方程220xx有实根的概率为（）(A)13(B)12(C)0.4930(D)495．设随机变量,XY都服从正态分布，则（）(A)XY一定服从正态分布(B),XY不相关与独立等价(C),XY一定服从正态分布(D),XY未必服从正态分布6．设随机变量X,Y相互独立，且X服从正态分布),0(21N，Y服从正态分布),0(22N，则概率)1|(|YXP（A）随1与2的减少而减少（B）随1与2的增加而减少（C）随1的增加而减少，随2的减少而增加（D）随1的增加而增加，随2的减少而减少7．设),(YX的联合概率密度为：,,0;1,/1),(22他其yxyxf则X与Y为（A）独立同分布（B）独立不同分布（C）不独立同分布（D）不独立不同分布8．设Xi~N(0,4),i=1,2,3,且相互独立,则()成立。2（A）)1,0(~41NX（B）)1,0(~832NXX（C）)8,0(~321NXXX（D）X1+X2–X3~N(0,4)9．已知随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)|-1x1,-1y1}上服从均匀分布，则（A）41)0(YXP（B）41)0(YXP（C）41)0),(max(YXP（D）41)0),(min(YXP10．设两个随机变量X与Y相互独立同分布：21)1()1(YPXP，21)1()1(YPXP，则下列各式中成立的是（A）21)(YXP（B）1)(YXP（C）41)0(YXP（D）41)1(XYP11．设随机变量412141101~iX(i=1,2)，且满足1)0(21XXP，则)(21XXP等于(A)0(B)41(C)21(D)1二、填空题1．设,XY是两个随机变量，且30,07PXY，4007PXPY，则max,0PXY2．设平面区域D由曲线1xy及直线20,1,yxxe所围成，二维随机变量,XY在区域D上服从于均匀分布，则,XY关于X的边缘概率密度函数在2x处的值为3．设随机变量,XY同分布，X的概率密度为230280xxfx其它，已知事件,AXaBYa相互独立，且34PAB，则a4．设二维随机变量(X,Y)的分布律为YX010ab31c0.5已知21)0|1(XYP，31)0|1(YXP，则a=,b=,c=。5．已知X,Y概率分布分别为21)0()1(XPXP，43)1(YP，41)0(YP，且21)0(XYP，则P(X=Y)=。6．将一枚硬币掷3次,以X表示前2次中出现正面的次数,以Y表示3次中出现正面的次数,则P(Y=2|X=2)=。7．设X与Y相互独立，均服从[1,3]上的均匀分布，记A={X≤a}，B={Ya}，且97)(BAP，则a=。8．）设随机变量X和Y相互独立，下表列出二维随机变量(X,Y)的联合分布律记关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：XYx1x2x3P(Y=yj)y11/8y21/8P(X=xi)1/61三、简答题1．设二维随机变量（,XY）的概率分布为YX-101-1a00.200.1b0.2100.1C其中a、b、c为常数，且X的数学期望EX=-0.2，P{Y0/X0}=0.5，记Z=X+Y求：（1）a、b、c的值；（2）Z的概率分布；（3）P{X=Z}。2．设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n位乘客的条件下，中途有m人下车的概率；4（2）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（3）求关于Y的边缘分布。3．设A，B为两个随机事件，且41)(AP，31)|(ABP，21)|(BAP，令，不发生，发生A,0A,1X，不发生，发生B,0B,1Y（1）求(X,Y)的概率分布；（2）求22YXZ的概率分布。4．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,,0;10,10,2),(他其yxyxyxf（1）求P(X2Y)；（2）求Z=X+Y的概率密度。5．设随机变量X和Y的联合分布是正方形}31,31|),{(yxyxG上的均匀分布，试求随机变量U=|X-Y|的概率密度p(u)。6．设二维随机变量(X,Y)在矩形}10,20|),{(yxyxG上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s)。7．已知随机变量X1，X2的概率分布412141101~1X，212110~2X，而且1)0(21XXP，(1)求X1和X2的联合分布；(2)问X1和X2是否独立？为什么？8．设随机变量X与Y相互独立，其中X的概率分布为7.03.021~X，而Y的概率密度为f(x)，求Z=X+Y的概率密度g(u)。5参考答案一、选择题1．C2．B3．A4．A5．D6．B7．C8．B9．D10．A11．A二、填空题1．572．1/43．344．1/6，1/6，1/65．3/46．1/27．5/3或7/38．XYx1x2x3P(Y=yj)y11/241/81/121/4y21/83/81/43/4P(X=xi)1/61/21/31三、简答题1．解：（1）由二维离散型随机变量联合分布律的性质可得，a+b+c=0.4，由已知条件，EX=-(a+0.2)+(c+0.1)=-0.2，可得-a+c=-0.1，5.05.01.0)0()0,0()0|0(babaXPXYPXYP，从而解得a=0.2，b=0.1，c=0.1；(2)Z的所有可能取值为-2,-1,0,1,2，其分布律为X-2-1012P0.20.10.30.30.1(3)P(X=Z)=P(Y=0)=0.2。2．解：（1）nmppCnXmYPmnmmn,...,1,0,)1()|(；（2）)|()(),(nXmYPnXPmYnXP,.....1,0;,...,1,0,)1(!nnmppCenmnmmnn；（3）mnmnmmnnmnppCenmYnXPmYP)1(!),()(,...1,0,!)(memppm。63．解：（1）由已知条件，得到1214131)()|()(APABPABP；612/112/1)|()()(BAPABPBP；从而有121)()1,1(ABPYXP；6112141)()0,1(BAPYXP；12112161)()1,0(BAPYXP；3212161411)()0,0(BAPYXP；（2）Z的分布律为4．解：（1）2417)2(1)2(1)2(102/0xdyyxdxYXPYXP；（2）先计算,,0;10,10,2),(他其xzxzxzxf故当0z1时，有)2()2(),()(0zzdxzdxxzxfzfzZ；当1z2时，有211)2()2(),()(zdxzdxxzxfzfzZ；其他情形，均有0)(zfZ。5．解：由有条件知X和Y的联合密度为,,0,31,31,4/1),(othersyxyxf以)()(uUPuF表示随机变量U的分布函数。显然，当0u时，F(u)=0；当2u时F(u)=1。设0u2，则])2(4[41),()(2||udxdyyxfuFuyx。于是，随机变量的密度为.,0,20),2(21)(othersuuup6．解：二维随机变量(X,Y)的概率密度为,,0,10,20,2/1),(othersyxyxf以)()(sSPsF表示随机变量S的分布函数。显然，当0s时，F(s)=0；当2s时F(s)=1。设0s2，则)ln2ln1(2211211)(21/2ssdydxdysFsxsxy,Z012P2/31/41/127于是，随机变量的密度为.,0,20),ln2(ln21)(otherssssf7．解：(1)X1X2-101X201/401/41/2101/201/2X11/41/21/41（2）不独立。8．解：先求Z的分布函数：)()()(zYXPzZPzF)2,()1,(XzYXPXzYXP)2,2()1,1(XzYPXzYP)2,2()1,1(XzYPXzYP7.0)2(3.0)1()2()2()1()1(zFzFXPzYPXPzYPYY求导，得到Z的概率密度为)2(7.0)1(3.0)()(ufufzFzg。