概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）⑴对任意事件A和B，必有P(AB)=P(A)P(B)()⑵设A、B是Ω中的随机事件,则(A∪B)-B=A()⑶若X服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX()⑷假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（）⑸样本方差2nS=n121)(XXnii是母体方差DX的无偏估计（）二、（20分）设A、B、C是Ω中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来（1）仅A发生，B、C都不发生；（2）,,ABC中至少有两个发生；（3）,,ABC中不多于两个发生；（4）,,ABC中恰有两个发生；（5）,,ABC中至多有一个发生。三、（15分）把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.四、（10分）已知离散型随机变量X的分布列为210131111115651530XP求2YX的分布列.五、（10分）设随机变量X具有密度函数||1()2xfxe，＜x＜，求X的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)PX.x00.511.522.53Ф(x)0.5000.6910.8410.9330.9770.9940.999七、（15分）设12,,,nXXX是来自几何分布1()(1),1,2,,01kPXkppkp，的样本，试求未知参数p的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一⑴×；⑵×；⑶√；⑷√；⑸×。二解（1）ABC（2）ABACBC或ABCABCABCABC；（3）ABC或ABCABCABCABCABCABCABC；（4）ABCABCABC；（5）ABACBC或ABCABCABCABC每小题4分；三解设A‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,xyaxy，则0,0,0xayaxya，不等式构成平面域S.------------------------------------5分A发生0,0,222aaaxyxya不等式确定S的子域A，----------------------------------------10分所以1()4APA的面积S的面积-----------------------------------------15分四解Y的分布列为014917111530530YP.Y的取值正确得2分，分布列对一组得2分；五解||102xEXxedx，（因为被积函数为奇函数）--------------------------4分22||2012xxDXEXxedxxedx2002xxxexedx002[]2.xxxeedx----------------------------------------10分六解X～b(k;100,0.20),EX=100×0.2=20,DX=100×0.2×0.8=16.----5分30201420(1430)()()1616PX---------------------------10分(2.5)(1.5)=0.994+0.933--10.927.--------------------------------------------------15分七解1111(,,;)(1)(1)niiinxnxnniLxxppppp----------5分S0a/2a/2aaA1lnln()ln(1),niiLnpXnp1ln0,1niiXndLndppp--------------------------------10分解似然方程11niinXnpp，得p的极大似然估计1pX。--------------------------------------------------------------------15分《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件BA,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(BPAP，则BA,至少有一个不发生的概率为__________.2．设随机变量X服从泊松分布，且)2(4)1(XPXP，则)3(XP______.3．设随机变量X在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2XY在区间)4,0(内的概率密度为)(yfY_________.4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为的指数分布，2)1(eXP，则_________，}1),{min(YXP=_________.5．设总体X的概率密度为其它,0,10,)1()(xxxf1.nXXX,,,21是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.解：1．3.0)(BABAP即)(25.0)()()()()()(3.0ABPABPBPABPAPBAPBAP所以1.0)(ABP9.0)(1)()(ABPABPBAP.2．eXPeeXPXPXP2)2(,)1()0()1(2由)2(4)1(XPXP知eee22即0122解得1，故161)3(eXP.3．设Y的分布函数为(),YFyX的分布函数为()XFx，密度为()Xfx则2()()()()()()YXXFyPYyPXyPyXyFyFy因为~(0,2)XU，所以()0XFy，即()()YXFyFy故1,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它另解在(0,2)上函数2yx严格单调，反函数为()hyy所以1,04,14()()20,.YXyyfyfyy其它4．2(1)1(1)PXPXee，故2{min(,)1}1{min(,)1}PXYPXY1(1)(1)PXPY41e.5．似然函数为111(,,;)(1)(1)(,,)nnniniLxxxxx1lnln(1)lnniiLnx1lnln01niidLnxd解似然方程得的极大似然估计为1111lnniixn.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,ABC为三个事件，且,AB相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若()1PC，则AC与BC也独立.（B）若()1PC，则AC与B也独立.（C）若()0PC，则AC与B也独立.（D）若CB，则A与C也独立.（）2．设随机变量~(0,1),XNX的分布函数为()x，则(||2)PX的值为（A）2[1(2)].（B）2(2)1.（C）2(2).（D）12(2).（）3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（A）X与Y独立.（B）()DXYDXDY.（C）()DXYDXDY.（D）()DXYDXDY.（）4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183XYP若,XY独立，则,的值为（A）21,99.（A）12,99.（C）11,66（D）51,1818.（）5．设总体X的数学期望为12,,,,nXXX为来自X的样本，则下列结论中正确的是（A）1X是的无偏估计量.（B）1X是的极大似然估计量.（C）1X是的相合（一致）估计量.（D）1X不是的估计量.（）解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图可见A与C不独立.2．~(0,1)XN所以(||2)1(||2)1(22)PXPXPX1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]应选（A）.3．由不相关的等价条件知应选（B）.4．若,XY独立则有(2,2)(2)(2)PXYPXPY1121()()()393929，19故应选（A）.5．1EX，所以1X是的无偏估计，应选（A）.SABC1231111169183112331112918YX三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A‘任取一产品，经检验认为是合格品’B‘任取一产品确是合格品’则（1）()()(|)()(|)PAPBPABPBPAB0.90.950.10.020.857.（2）()0.90.95(|)0.9977()0.857PABPBAPA.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为3323()()()0,1,2,3.55kkkPXkCk即01232754368125125125125XPX的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.xxFxxxx263,55EX231835525DX.五、（10分）设二维随机变量(,)XY在区域{(,)|0,0,1}Dxyxyxy上服从均匀分布.求（1）(,)XY关于X的边缘概率密度；（2）ZXY的分布函数与概率密度.解：（1）(,)XY的概率密度为2,(,)(,)0,.xyDfxy其它1D01zxyx+y=1x+y=zD122,01()(,)0,Xxxfxfxydy其它（2）利用公式()(,)Zfzfxzxdx其中2,01,01(,)0,xzxxfxzx其它2,01,1.0,xxz其它.当0z或1z时()0Zfz01z时00()222zzZfzdxxz故Z的概率密度为2,01,()0,Zzzfz其它.Z的分布函数为200,00,0,()()2,01,01,1,1.1,1zzZZzzfzfydyydyzzzzz或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1,1.ZDzFzPZzPXYzdxdyzz20,0,,01,1,1.zzzz2,01,()()0,ZZzzfzFz其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从2(0,2)N分布.求（1）命中环形区域22{(,)|12}Dxyxy的概率；（2）命中点到目标中心距离22ZXY的数学期望.解：（1）{,)}(,)DPXYDfxydxdy22222880111248xyrDedxdyerdrdxzz=xxy0122221122888211()8rrredeee；（2）22222281()8xyEZEXYxyedxdy2222880001184rrrerdrderdr2228880021222r