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群的定义:当集合G:构成群，该集合应定义了乘法并满足下列条件：},ˆ,ˆ,ˆ{CBA(3)存在逆元素EAAAAGAGAˆˆˆˆˆ,ˆ,ˆ111(4)满足结合律CBACBAˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆAEAGEGAˆˆˆ,ˆ,ˆ(2)存在单位(恒等)元素EˆGCCBAGBGAˆ,ˆˆˆ,ˆ,ˆ(1)封闭性群的阶：群元素的数目称为群的阶。子群：当一个群中的部分元满足前述四个条件时，则这部分元构成的群称为该群的子群。子群的阶是该群的阶的一个因子。SevenCrystalSystems:cubic,hexagonal,Tetragonal,Trigonal,Orthorhombic,Monoclinic,TriclinicFourteenBravaisLatticeTypeQuestion:whydoesthemonoclinicsystemonlyhaveprimitiveandC-centeredBravaislatticetype?单斜晶系存在的点阵P点阵C点阵如果所谓的“B”点阵存在，可以通过重新选取单位晶胞显示“B”点阵实际为P点阵c→aa→ccabcaac如果所谓的“I”点阵存在，可以通过重新选取单位晶胞显示“I”点阵实际为C点阵××ca×××××如果所谓的“F”点阵存在，可以通过重新选取单位晶胞显示“F”点阵实际为C点阵××××仅仅从“有限的晶体图形”（宏观晶体）的外观上的对称点、线或面，对其所施行的对称操作，即称“宏观对称操作”；这时所借助参考的几何元素，即称“宏观对称元素”。从晶体内部空间点阵中相应“阵点”的对称性进行考查而施行的对称操作，则称为“微观对称操作”；而借以动作的“几何元素”即称为“微观对称元素”。微观对称操作有平移、旋转平移、反映平移，对应的元素为平移轴，螺旋轴和滑移面。螺旋轴对应的对称操作是旋转和平移的联合对称操作.螺旋轴的国际符号是nm,nm的基本操作是旋转2π/n再沿轴的方向平移m/n个单位矢量.21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65。21轴YX12Z一个周期长度12331轴一个周期长度滑移面晶体结构所具有的全部对称元素（宏观和微观）构成晶体的空间群。空间群是分布在空间的对称元素群，是点阵、平移群(滑移面和螺旋轴)和点群的组合，反映了晶体结构中原子等的分布规律。RotationReflectionInversion32pointgroupsTranslation14SpaceLatticesScrewGlide230SpaceGroups空间群符号从空间群符号辨认晶系1.立方–第2个对称符号：3或`3(如：Ia3,Pm3m,Fd3m)2.四方–第1个对称符号：4,`4,41,42或43(如：P41212,I4/m,P4/mcc)3.六方–第1个对称符号：6,`6,61,62,63,64或65(如：P6mm,P63/mcm)4.三方–第1个对称符号：3,`3，31或32(如：P31m,R3,R3c,P312)5.正交–点阵符号后的全部三个符号是镜面，滑移面，2次旋转轴或2次螺旋轴(即Pnma,Cmc21,Pnc2）6.单斜–点阵符号后有唯一的镜面、滑移面、2次旋转或者螺旋轴，或者轴/平面符号(即Cc、P2、P21/n)。7.三斜–点阵符号后是1或(-1)。从空间群符号确定点群1.把所有滑移面全部转换成镜面；2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。例如：•空间群=Pnma点群=mmm空间群=I`4c2点群=`4m2空间群=P42/n点群=4/m由于蛋白质晶体中不存在能够引起手性改变的对称变换，所以蛋白质晶体可能具有的空间群总计仅有65个。晶系及其所属点群空间群个数三斜：点群1：P11单斜：点群2：P2,P21,C23正交：点群222：P222,P2221,P21212,P212121,C222,C2221,I222,I212121,F2229四方：点群4：P4,P41,P42,P43,I4,I416点群422：P422,P4212,P4122,P41212,P4222,P42212,P4322,P43212,I42,I41210三方：点群3：P3,P31,P32,R34点群32：P321,P3121,P3221,P312,P3112,P3212,R327六方：点群6：P6,P61,P62,P63,P64,P656点群622：P622,P6122,P6222,P6322,P6422,P65226立方：点群23：P23,P213,I23,I213,F235点群432：P432,P4132,P41232,P4332,I432,I4132,F432,F41328合计65Popularspacegroups由于蛋白质分子密堆积和相互作用的需要，不同的对称变换在蛋白质晶体出现的概率通常是不同的。例如：螺旋轴出现的概率通常高于普通旋转轴。0½1½102轴21轴国际晶体学表InternationalTablesforCrystallographyVolumeA:spacegroupsymmetry国际晶体学表中最先列出的为17个平面空间群。平行四边形（a≠b,≠90°）矩形(a≠b,90°)正方(a=b,90°)菱形或六边形(a=b,120°)平面群：p1和p2平面群：pm,pg,p2mg,p2mm和p2gg平面群：p4,p4mm和p4gm平面群：cm和c2mm平面群：p3,p31m,p3m1,p6和p6mmab矩形(a≠b,90°)5种平面点阵?在一个单斜C心格子中…原点选取原则一般的优先顺序规则：高对称点的对称中心低对称点的对称中心高次普通旋转轴高次螺旋轴二次普通旋转轴对称平面二次螺旋轴滑移平面任意点特殊情况：例如：P212121通常查阅晶体学国际表手册核实不对称单位（AsymmetricUnit）为描述结构，只需确定晶胞中每套等效点系中的一个原子的坐标，这套等效点系中的其它原子的位置就可以从空间群对称操作推出。不对称单位：是当应用全部空间群的对称操作(平移+点对称操作)后可以填充整个空间的最小空间区域。在结晶学里，不对称单位可以包含一个原子或一组原子（或分子）。结构基元和不对称单位的区别：结构基元和点阵点代表的内容相应，在初基晶胞中，整个晶胞构成一个结构基元；但结构基元（单胞）可以包含几个不对称单位。不对称单位经过空间群全部对称操作（平移+点对称操作）产生整个空间结构。结构基元只需空间群的平移操作就可以产生整个空间结构。不对称单位（AsymmetricUnit）一般位置-特殊位置•多重性（multiplicity）：告诉我们如果安置一个特定原子在该位置，经过空间群的所有对称操作，总共会产生多少个原子。•记号（letter）是从高对称性位置开始按英文字母顺序指定的位置标记。•对称（symmetry）告诉我们原子所在之处具有的对称元素。一般位置-特殊位置一般位置：空间群表里最先列出的Wyckoff位置，1.不处在任何一个对称元素上的位置；2.一般位置具有最高多重性（M）。初级晶胞中M等于点群的对称操作总数；带心晶胞M等于点群的阶数乘以晶胞中的阵点数。3.在一般位置的原子总具有三个位置自由度，它的三个分数坐标都可以独立变化。特殊位置：所有不在一般位置的。1.处于一个或多个对称元素上的位置；2.其多重性是一般位置多重性的公因子，即比一般位置小（一个整数倍）。3.特殊位置的分数座标中必有一个（或多个）是不变的常数。