概率论与数理统计第五章测试题

1第5章数理统计的一些基本概念一、选择题1．设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义tα满足P(X≤tα)=1-α，0α1。若已知P(|X|x)=b，b0，则x等于（A）t1-b（B）t1-b/2（C）tb（D）tb/22．设nXXX,...,,21是来自标准正态总体的简单随机样本，X和S2为样本均值和样本方差，则（A）X服从标准正态分布（B）niiX12服从自由度为n-1的χ2分布（C）Xn服从标准正态分布（D）2)1(Sn服从自由度为n-1的χ2分布3．设nXXX,...,,21是来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本，X为其均值，记niiXnS1221)(1，niiXXnS1222)(1，niiXnS1223)(11，niiXXnS1224)(11，服从自由度为n-1的t分布的随机变量是（A）1/1nSXT（B）1/2nSXT（C）1/3nSXT（D）1/4nSXT4．设21,XX是来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本，则21XX与21XX必（A）不相关（B）线性相关（C）相关但非线性相关（D）不独立5．设nXXX,...,,21是来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本，统计量2SXnY，则（A）Y~χ2(n-1)（B）Y~t(n-1)（C）Y~F(n-1,1)（D）Y~F(1,n-1)6．设随机变量X~N(0,1)，Y~N(0,2)，且X与Y相互独立，则（A）223231YX服从χ2分布（B）2)(31YX服从χ2分布（C）222121YX服从χ2分布（D）2)(21YX服从χ2分布27．设X,1021,...,,XXX是来自正态总体N(0,σ2)的简单随机样本，niiXY122101，则（A）X2~χ2(1)（B）Y2~χ2(10)（C）X/Y~t(10)（D）X2/Y2~F(10,1)8．设总体X与Y相互独立且都服从正态分布N(μ,σ2)，X，Y分别为来自总体X,Y的容量为n的样本均值，则当n固定时，概率)|(|YXP的值随σ的增大而（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定9设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（A）X+Y服从正态分布（B）22YX服从χ2分布（C）X2和Y2都服从χ2分布（D）22/YX服从F分布填空题1．已知随机变量X，Y的联合概率密度为)}4849(721exp{121),(22yyxyxf，则22)1(49YX服从参数为的分布。2．假设1621,...,,XXX是来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本，X为其均值，S为其标准差，如果95.0)(aSXP，则参数a＝。（t0.05(15)=1.7531）3．在天平上重复称重一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布N(a,0.22)。若以nX表示n次称重结果的算术平均值，则为使95.0)1.0|(|aXPn，n的最小值应不小于自然数。4．假设nXXX,...,,21是来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本，S为其标准差，则ES4＝。5．设随机变量X~F(n,n)，则概率P(X1)=。6．已知X~t(n)，则1/X2~。7．设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32)，而X1,…,X9和Y1,…,Y9分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量292191YYXXU服从分布，参数3为。8．设X1,X2,X3，X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本，243221)43()2(XXbXXaX，则当a=，b=时，统计量X服从χ2分布，其自由度为。9．设总体X服从正态分布N(0,22)，而X1,….,X15是来自总体X的简单随机样本，则随机变量21521121021XXXXY服从分布，参数为。解答题1．设,...,21XX,X10是来自正态分布X~N(0,4)的简单随机样本，求常数a,b,c,d，使210987265423221)()()(XXXXdXXXcXXbaXQ服从χ2分布，并求自由度n。2．设,...,21XX,X9是来自正态分布X的简单随机样本，)(61611XXY，)(319872XXXY，97222)(21iiYXS，SYYZ)(221，证明统计量Z服从自由度为2的t分布。3．已知总体X的数学期望EX=μ,DX=σ2，,...,21XX,X2n是来自总体X容量为2n的简单随机样本，样本均值为X，统计量21)2(XXXYinnii，求EY。4．已知,...,21XX,Xn是来自正态总体N(0,σ2)容量为n(n1)的简单随机样本，样本均值与方差分别为X，S2。记221)1(SnXnY，试求Y的期望EY与方差DY。5．已知总体X的数学期望EX=μ，方差DX=σ2，,...,21XX,Xn是来自总体X的简单随机样本，样本均值为X，求XXi与XXj(i≠j)的相关系数ρ。6．从正态分布总体N(3.4,36)中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？4参考答案选择题1．D2．D3．B4．A5．D6．B7．C8．C9．C填空题1．1,1F2．-0.43833．164．411nn5．1/26．F（n,1）7．t分布，98．2,1001,2019．F，10，5解答题1．解：由于Xi独立同分布，有)4,0(~1NX，)8,0(~32NXX，)12,0(~654NXXX，)16,0(~10987NXXXX，于是121X，)(8132XX，)(121654XXX，)(4110987XXXX相互独立都服从标准正态分布N(0,1)。由χ2分布的典型模式可知)4(~)(161)(121)(81412210987265423221XXXXXXXXXX。所以，当161,121,81,41dcba时，Q服从自由度为4的χ2分布。2．证明：设X服从N(μ,σ2)，则)6,(~21NY，)3,(~22NY且相互独立，从而有)236,0(~22221NYY，标准化，得到)1,0(~2/21NYY；另一方面，有正态总体样本方差的性质，知)2(~2222S，且Y1-Y2与S2相互独立，由t分布的构造性定义，可知)2(~)(22/22/)(2212221tSYYSYYZ。3．解：设iniXXY，则EYi=2μ，DYi=2σ2，i=1,2,…,n。XXXnYinnii2)(11，,...,21YY,Yn相互独立同分布，而2)1(YSnY，故22)1(2)1(nESnEYY。4．解：由题设知总体X~N(0,σ2)，故X~N(0,σ2/n)，(n-1)S2/σ2~χ2(n-1)。且X与S2相互5独立，由此得)1,0(~NXn，)1(~222Xn。从而有1)(22XnE，2)(22XnD，1))1((22nSnE，)1(2))1((22nSnD，故nXE22)(，2422)(nXD，22)(SE，12)(42nSD，又2X与S2相互独立，所以22222)1(1)1(nnnESnXEnEY，4224242222)1(33)1(22)1(1)1(nnnnnnnnDSnXDnDY。5．解：),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(XXXXXXXXXXXXjijijinnnnXDXXnXXnjiji2222),cov(1),cov(10ijjiijjiiDXnDXnnXnXnnDXXD2221)1()11()(22222211)1(nnnnnn。6．解：95.01)3(2)/64.34.5/64.3/64.34.1()4.54.1(nnnXnPXP，则应有975.0)3(n，查表知96.13n，解得n≥34.5744，故样本容量至少应取35。