文登考研数学--概率--习题及其答案

1第一章随机事件和概率一.填空题1.设A,B,C为三个事件,且)(,97.0)(,9.0)(CABPCBAPBAP则____.解.)(1)(1)()()()(ABCPABPABCPABPABCABPCABP=)(CBAP－)(BAP=0.97－0.9=0.072.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,另一件也是不合格品的概率为_______.解.}{合格品二件产品中有一件是不A,}{二件都是不合格品B511)()()()()|(2102621024ccccAPBPAPABPABP注意:}{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是+}{二件都是不合格品所以BABBA,;}{二件都是合格品A3.随机地向半圆axaxy(202为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率为______.解.假设落点(X,Y)为二维随机变量,D为半圆.则121)),((2akDYXP,k为比例系数.所以22ak假设D1={D中落点和原点连线与x轴夹角小于4的区域}121)2141(2)),((22211aaaDkDYXP的面积.4.设随机事件A,B及其和事件AB的概率分别是0.4,0.3,0.6,若B表示B的对立事件,则积事件BA的概率)(BAP=______.解.)()()()(BAPBPAPABP0.4+0.3－0.6=0.13.01.04.0)()()(ABPAPBAP.5.某市有50住户订日报,有65住户订晚报,有85住户至少订这两种报纸中的一种,则同时订这两种报纸的住户的百分比是________.解.假设A={订日报},B={订晚报},C=A+B.由已知P(A)=0.5,P(B)=0.65,P(C)=0.85.2所以P(AB)=P(A)+P(B)－P(A+B)=0.5+0.65－0.85=0.3.6.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________.解.设Ai事件表示第i台机器运转不发生故障(i=1,2,3).则P(A1)=0.9,P(A2)=0.8,P(A3)=0.7,)()()(1)(1)()(321321321321APAPAPAAAPAAAPAAAP=1－0.9×0.8×0.7=0.496.7.电路由元件A与两个并联元件B,C串联而成,若A,B,C损坏与否相互独立,且它们损坏的概率依次为0.3,0.2,0.1,则电路断路的概率是________.解.假设事件A,B,C表示元件A,B,C完好.P(A)=0.7,P(B)=0.8,P(C)=0.9.事件线路完好=A(B+C)=AB+AC.P(A(B+C))=P(AB+AC)=P(AB)+P(AC)－P(ABC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C)=0.7×0.8+0.7×0.9－0.7×0.8×0.9=0.686.所以P(电路断路)=1－0.686=0.314.8.甲乙两人投篮,命中率分别为0.7,0.6,每人投三次,则甲比乙进球多的概率______.解.设X表示甲进球数,Y表示乙进球数.P(甲比乙进球多)=P(X=3,Y=2)+P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=0)+P(X=1,Y=0)=P(X=3)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=2)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=0)=21336.04.07.0c6.04.07.02233c334.07.0+2132134.06.07.03.0cc32134.07.03.0c32134.03.07.0c=0.148176+0.098784+0.021952+0.127008+0.028224+0.012096=0.43624.9.三人独立破译一密码,他们能单独译出的概率分别为41,31,51,则此密码被译出的概率_____.解.设A,B,C表示事件甲,乙,丙单独译出密码.,则41)(,31)(,51)(CPBPAP.P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=53413151413141513151413151.二．单项选择题.1.以A表示“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则对立事件A为(A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”(B)“甲、乙产品均畅销”(C)“甲种产品滞销”(D)“甲产品滞销或乙产品畅销”解.(D)是答案.2.设A,B,C是三个事件,与事件A互斥的事件是(A)CABA(B))(CBA(C)ABC(D)CBA解.CBAA)CBAA(,所以(D)是答案.3.设A,B是任意二个事件,则3(A)P(AB)P(AB)P(A)P(B)(B)P(AB)P(AB)P(A)P(B)(C)P(A－B)P(B－A)P(A)P(B)－P(AB)(D)41)()(ABPBAP.解.P(A+B)P(AB)－P(A)P(B)=(P(A)+P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B)=－P(A)(P(B)－P(AB))+P(AB)(P(B)－P(AB)=－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB))=－P(B－A)P(A－B)0所以(B)是答案.4.事件A与B相互独立的充要条件为(A)A+B=(B)P(AB)=P(A)P(B)(C)AB=(D)P(A+B)=P(A)+P(B)解.(B)是答案.5.设A,B为二个事件,且P(AB)=0,则(A)A,B互斥(B)AB是不可能事件(C)AB未必是不可能事件(D)P(A)=0或P(B)=0.解.概率理论中P(A)=0不能推出A为不可能事件(证明超出大纲要求).所以(C)是答案.6.设A,B为任意二个事件,且AB,P(B)0,则下列选项必然成立的是(A)P(A)P(A|B)(B)P(A)P(A|B)(C)P(A)P(A|B)(C)P(A)P(A|B)解.)()()()()()|(APBPAPBPABPBAP(当B=时等式成立).(B)是答案.7.已知0P(B)1,且P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B),则下列选项必然成立的是(A))B|P(A)B|P(A]B|)AP[(A2121(B)P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)(C)P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B)(D)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)解.由P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B)得到)()()()()(])[(2121BPBAPBPBAPBPBAAP,所以P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B).(B)是答案.三.计算题1.某厂生产的产品次品率为0.05,每100个产品为一批,抽查产品质量时,在每批中任取一半来检查,如果发现次品不多于1个,则这批产品可以认为合格的,求一批产品被认为是合格的概率.解.P(该批产品合格)=P(全部正品)+P(恰有1个次品)=2794.050100154995501005095ccccc2.书架上按任意次序摆着15本教科书,其中有5本是数学书,从中随机地抽取3本,至少有一本是数学书的概率.解.假设A={至少有一本数学书}.A={没有数学书}P(A)=9124315310cc,P(A)=1－P(A)=91673.全年级100名学生中有男生80名,来自北京的20名中有男生12名.免修英语的40名学生中有男生32名,求出下列概率:i.碰到男生情况不是北京男生的概率;ii.碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率;iii.碰到北京男生的概率;4iv.碰到非北京学生情况下是一名女生的概率;v.碰到免修英语的男生的概率.解.学生情况:男生女生北京128免修英语328总数8020i.P(不是北京|男生)=20178068ii.P(男生|北京学生)=532012iii.P(北京男生)=10012iv.P(女生|非北京学生)=8012v.P(免修英语男生)=100324．袋中有12个球,其中9个是新的,第一次比赛时从中取3个,比赛后任放回袋中,第二次比赛再从袋中任取3个球,求:i.第二次取出的球都是新球的概率;ii.又已知第二次取出的球都是新球,第一次取到的都是新球的概率.解.i.设Bi表示第一次比赛抽到i个新球(i=0,1,2,3).A表示第二次比赛都是新球.于是312339)(cccBPiii,31239)|(ccBAPii)()(1)()|()()(36033937132938231939330923123023123933930cccccccccccccccccBAPBPAPiiiiiii146.0484007056)201843533656398411()220(12ii.215484007056)220(20184)()()|()|(2333APBPBAPABP5.设甲、乙两袋,甲袋中有n个白球,m个红球,乙袋中有N个白球,M个红球,今从甲袋中任取一只放入乙袋,再从乙袋中任取一球,问取到白球的概率.解.球的情况:白球红球甲袋nm乙袋NM假设A={先从甲袋中任取一球为白球}B={先从甲袋中任取一球为红球}C={再从乙袋中任取一球为白球}P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)nmmMNNmnnMNN111))(1()1(nmMNNmNn5第二章随机变量及其分布一.填空题1.设随机变量X～B(2,p),Y～B(3,p),若P(X1)=95,则P(Y1)=_________.解.94951)1(1)0(XPXP94)1(2p,31p2719321)0(1)1(3YPYP2.已知随机变量X只能取－1,0,1,2四个数值,其相应的概率依次为cccc162,85,43,21,则c=______.解.2,16321628543211cccccc3.用随机变量X的分布函数F(x)表示下述概率:P(Xa)=________.P(X=a)=________.P(Xa)=________.P(x1Xx2)=________.解.P(Xa)=F(a)P(X=a)=P(Xa)－P(Xa)=F(a)－F(a－0)P(Xa)=1－F(a)P(x1Xx2)=F(x2)－F(x1)4.设k在(0,5)上服从均匀分布,则02442kkxx有实根的概率为_____.解.k的分布密度为051)(kf其它50kP{02442kkxx有实根}=P{03216162kk}=P{k－1或k2}=535152dk5.已知2}{,}{kbkYPkakXP(k=1,2,3),X与Y独立,则a=____,b=____,联合概率分布_____,Z=X+Y的概率分布为_____.解.116,132aaaa.4936,194bbbb(X,Y)的联合分布为YX－1－2－36123ab4ab9ab2ab8ab18ab3ab12ab27abZ=X+Y－2－1012P246625112672ab=216,5391249)3()1()3,1()2(abYPXPYXPZP6