2015考研数学基础班线性代数辅导讲义

目录第一讲行列式..................................................................................1第二讲矩阵及其运算......................................................................7第三讲n维向量.............................................................................19第四讲线性方程组........................................................................30第五讲矩阵的特征值与特征向量................................................35第六讲二次型................................................................................42参考答案............................................................................................472015考研数学基础班线性代数辅导讲义1第一讲行列式考研大纲1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式.知识要点一、行列式的概念1．n阶行列式的定义nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211=1111121211111==+++=∑nnnjjjaAaAaAaA，其中111(1)+=−jjjAM，且212,12,12313,13,1311,1,1−+−+−+=jjnjjnjnnjnjnnaaaaaaaaMaaaa，(1,2,,)=jn．二、行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等．TnnnnnnnnnnnnDaaaaaaaaaaaaaaaaaaD===212221212111212222111211．2．互换行列式的两行（列），行列式变号．nnnnnjnjjjiniiinaaaaaaaaaaaaaaaaD3213213211131211=nnnnniniiijnjjjnaaaaaaaaaaaaaaaa3213213211131211−=．2015考研数学基础班线性代数辅导讲义2推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零．3．行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数λ，等于用数λ乘此行列式．nnnnniniiinaaaaaaaaaaaaD3213211131211λλλλ=nnnnniniiinaaaaaaaaaaaa3213211131211⋅=λ．推论：（1）行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面．（2）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．4．如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，两个行列式在该行（列）分别取第一个和第二个元素，其余各行（列）都不变．nnnnnininiiiiiinaaaababababaaaaa3213322111131211++++nnnnniniiinaaaaaaaaaaaa3213211131211=nnnnniniiinaaaabbbbaaaa3213211131211+．5．把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变．nnnnnjnjjjiniiinaaaaaaaaaaaaaaaaD3213213211131211=nnnnninjnijijijiniiinaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa3213322113211131211λλλλ++++=．6．行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和．ininiiiiAaAaAaD+++=2211（其中ni≤≤1）．2015考研数学基础班线性代数辅导讲义3njnjjjjjAaAaAaD+++=2211（其中nj≤≤1）．推论：行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）对应的元素的代数余子式乘积之和等于零．02211=+++jninjijiAaAaAa（其中nji≤≠≤1）．02211=+++njnijijiAaAaAa（其中nji≤≠≤1）．7．拉普拉斯定理：行列式等于某几行的所有子式与其对应的代数余子式乘积的和．三、克莱姆法则设含有n个未知数nxxx,,,21的n个线性方程的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111)(Ι⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa)(ΙΙ定理：如果线性方程组)(Ι的系数行列式不等于零，即0212222111211≠=nnnnnnaaaaaaaaaD，那么，方程组)(Ι有唯一解DDxDDxDDxnn===，，，2211，其中：nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111,111,111+−+−=)21(nj，，，=．推论：（1）如果线性方程组)(Ι无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零．（2）如果齐次线性方程组)(ΙΙ有非零解，则它的系数行列式必为零．例1．设A是n阶矩阵，证明：存在非零的n阶矩阵B使0=AB的充要条件是0=A．2015考研数学基础班线性代数辅导讲义4四、重要公式1．11111212122222112212000000===nnnnnnnnnnaaaaaaaaDaaaaaaa．2．11(1)2122211000000(1)000000nnnnnnnaaaaDaaaaaaa−−−∗∗∗∗∗∗===−∗∗∗∗∗∗．3．奇数阶反对称行列式等于0．4．范德蒙德行列式∏≤≤−−−−−==njiijnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxD111312112232221321)(1111．5．设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，则BABOABOA⋅=∗=∗；BAOBABAOmn⋅−=∗=∗)1(．典型例题一、填空题例2．设12125376⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠Aa，B是3阶非零矩阵，且0=AB，则_____=a．例3．设A为三阶矩阵，将A的所有关于次对角线对称的元素对换得到的矩阵记为B，已知Aa=，则______B=．例4．设γβααα,,,,321都是4维列向量，且5,,,321=βααα，4,,,123=+αααγβ，则______,,,2321=αααγ．2015考研数学基础班线性代数辅导讲义5例5．设γβα,,是方程03=++qpxx的三个互异实根，则行列式______=αγββαγγβα．二、n阶行列式的计算1．利用行列式定义计算例6．计算n阶行列式xyyxyxyxDn000000000000=．2．各行（列）元素之和相等的行列式例7．计算n阶行列式xaaaxaaaxDn=．例8．计算n阶行列式111111111111nnnnDn−−−−=．3．各行（列）加减同一行（列）的倍数例9．计算n阶行列式nnDn222221222223222222222221−=．2015考研数学基础班线性代数辅导讲义64．各行（列）依次加减上一行（列）的倍数例10．计算n阶行列式12312131231123412341nnnnnnnDnn−−−=．例11．计算行列式123111100100100nnaaDaa=，其中021≠naaa．5．加边法例12．计算n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaDλλλλ++++=321332132213211，其中：12nλλλ0≠．6．拆分法例13．计算n阶行列式111212122212111111111nnnnnnnxyxyxyxyxyxyDxyxyxy++++++=+++．例14．设n阶矩阵12(,,,)nAααα=，12231(,,,)nBαααααα=+++，其中12,,,nααα为n维列向量，已知Aa=(0)a≠，则行列式B的值．7．递推法2015考研数学基础班线性代数辅导讲义7例15．计算n阶行列式nnnaaaaaxxxD1321100000100001−−−−=．8．三对角行列式例16．计算n阶行列式2112112112112−−−−−−−−=nD．9．利用行列式展开定理例17．设行列式3142313150111253−−−−−−=D，D中ija的余子式和代数余子式依次记为ijM和ijA，求14131211AAAA+++及41312111MMMM+++．三、利用克莱姆法则求方程的解例18．证明：如果n次多项式nnxcxccxf+++=10)(对1+n个不同的x值都是0，则此多项式恒等于0．第二讲矩阵及其运算考研大纲1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式性质.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.2015考研数学基础班线性代数辅导讲义84.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算方法.知识要点一、矩阵的概念1.矩阵：由nm×个数ija)2121(nnmi，；，==排成m行n列的数表，称为nm×的矩阵，记作⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=×mnmmnnnmaaaaaaaaaA212222111211．2.几类特殊矩阵（1）方阵：矩阵A行数和列数相等的矩阵.（2）零矩阵：若矩阵A中所有元素都是0，记OA=．（3）三角矩阵：主对角线下方的元素全为零的方阵为上三角矩阵；主对角线上方的元素全为零的方阵为下三角矩阵．（4）对角矩阵：主对角线上元素为任意常数，而主对角线外的元素都是零的矩阵，记作：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=Λnλλλ21．（5）数量矩阵：主对角线上元素均相等的对角矩阵，记作：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=Λλλλ．（6）单位矩阵：主对角线上元素均为1的数量矩阵，记作：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111E．（7）同型矩阵：若矩阵A与B的行数和列数分别相等的矩阵.（8）相等矩阵：若同型矩阵A与B对应元素也相等，记作AB=．备注：若AB=，则AB=，反之不成立．2015考研数学基础班线性代数辅导讲义9二、矩阵的运算1.矩阵的加法：设矩阵nmijaA×=)(，nmijbB×=)(，则nmijijbaBA×+=+)(．2.矩阵的减法：设矩阵nmijaA×=)(，nmijbB×=)(，则nmijijbaBA×−=−)(．3.数与矩阵相乘：设矩阵nmijaA×=)(，λ是一个常数，则nmijaA×⋅=⋅)(λλ．4.矩阵与矩阵的乘法：设矩阵nmijaA×=)(，pnijbB×=)(，则pmijcBA×=×)(，其中∑=⋅=nkkjikijbac1，mi2,1=，pj2,1=．5.矩阵与矩阵乘法的运算律（1）结合律：)()(BCACAB=；)()()(BABAABλλλ==．（2）分配律：ACABCBA+=+)(；CABAACB+=+)(．备注：（1）一般情况下BAAB≠，若BAAB=，则称BA，为可交换矩阵，特殊地：nnnnAE××⋅nnnnEA××⋅=；（2）设0=AB，则BA，不一定为零矩阵；（3）设ACAB=，0≠A，则CB，不一定相等；但ACAB=,且0≠A，则CB=．（3）方阵的幂：nAAAA=⋅．例1．判断下列命题是否正确，错误的命题举出反例．（1）若02=A,则0=A.（2）若AA=2,则0=A或EA=.（3）