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第二课时利用导数研究函数的极值与最值易混易错辨析考点专项突破考点一利用导数研究函数极值问题★★★★考查角度1:根据函数图象判断函数极值【例1】(2018·内蒙古赤峰市模拟)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()考点专项突破在讲练中理解知识(A)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)(B)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)(C)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)(D)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析:由题图可知,当x-2时,f′(x)0;当-2x1时,f′(x)0;当1x2时,f′(x)0;当x2时,f′(x)0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D.考查角度2:求函数的极值【例2】已知函数f(x)=4x+ax-lnx-32,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=12x.(1)求a的值;解:(1)对f(x)求导得f′(x)=14-2ax-1x,由f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=12x知f′(1)=-34-a=-2,解得a=54.(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解:(2)由(1)知,f(x)=4x+54x-lnx-32,则f′(x)=22454xxx,令f′(x)=0,解得x=-1或x=5,因为x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.当x∈(0,5)时f′(x)0,故f(x)在(0,5)内为减函数;当x∈(5,+∞)时,f′(x)0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数.由此知函数f(x)的单调减区间为(0,5),单调增区间为(5,+∞).函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln5,无极大值.反思归纳利用导数研究函数极值的一般步骤:(1)确定函数定义域;(2)求导数f′(x)及f′(x)=0的根;(3)根据方程f′(x)=0的根将函数定义域分成若干个区间,列出表格,检查导函数f′(x)零点左右f′(x)的值的符号,如果左正右负,那么y=f(x)在这个根处取极大值,如果左负右正,那么y=f(x)在这个根处取极小值.如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.解:(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1-2x(x0),所以f(1)=1,f′(1)=-1,所以y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.【例3】(2017·河南信阳质检)已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;解:(2)由f′(x)=1-ax=xax,x0可知:①当a≤0时,f′(x)0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;(2)求函数f(x)的极值.②当a0时,由f′(x)=0,解得x=a;因为x∈(0,a)时,f′(x)0,x∈(a,+∞)时,f′(x)0,所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上:当a≤0时,函数f(x)无极值,当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.反思归纳函数解析式中含参数的函数极值,需分类讨论,分类讨论标准主要有以下方面:(1)f′(x)=0的根是否存在;(2)f′(x)=0根的大小;(3)f′(x)=0的根与定义域的关系等.考查角度3:已知极值求参数【例4】(1)导学号38486063已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则实数c的值为()(A)2或6(B)2(C)(D)623解析:(1)法一f′(x)=(x-c)(3x-c),当f′(x)=0时,x1=3c,x2=c,因为极大值点是x=2,所以c0,并且3cc,当x∈(-∞,3c)时,f′(x)0,当x∈(3c,c)时,f′(x)0,当x∈(c,+∞)时,f′(x)0,所以x=3c是极大值点,3c=2,解得c=6.故选D.法二因为f′(x)=(x-c)(3x-c).又因为f(x)在x=2处取极值,所以f′(2)=0,即(2-c)(6-c)=0.所以c=2或c=6.当c=6时,f′(x)=3(x-2)(x-6),易知x∈(-∞,2)和x∈(6,+∞)时,f′(x)0,函数f(x)是增函数,x∈(2,6)时,f′(x)0,函数f(x)是减函数,此时x=2为极大值点.当c=2时,f′(x)=3(x-2)(x-23),易知x∈(-∞,23)和x∈(2,+∞)时,f′(x)0,函数f(x)是增函数,x∈(23,2)时,f′(x)0,函数f(x)是减函数,此时x=2是极小值点.因此c=6.故选D.(2)已知函数f(x)=lnx+ax2-2x有两个极值点,则a的取值范围是()(A)(-∞,1)(B)(0,2)(C)(0,1)(D)(0,3)12解析:(2)因为f(x)=lnx+12ax2-2x,所以f′(x)=1x+ax-2=221axxx.因为f(x)有两个极值点,所以f′(x)=0有两个不相等的正实数根,所以ax2-2x+1=0有两个不相等的正实数根,设为x1,x2,所以12120,0,0,0,axxxx＞＞＞即0,440,20,10,aaaa＞＞＞解不等式组得a的取值范围为(0,1).故选C.反思归纳(1)已知函数极值点x0,求解析式中的参数,常利用f′(x0)=0列方程求参数,求出参数后还要检验所求参数值是否满足x0的极值点特征.(2)函数y=f(x)在区间(a,b)上存在极值点,则转化为函数y=f′(x)在区间(a,b)内存在变号零点.考点二利用导数研究函数最值★★★★【例5】设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1+a-2x-3x2.令f′(x)=0,得x1=1433a,x2=1433a,x1x2,所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).当xx1或xx2时,f′(x)0;当x1xx2时,f′(x)0.故f(x)在(-∞,1433a)和(1433a,+∞)内单调递减,在(1433a,1433a)内单调递增.(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.解:(2)因为a0,所以x10,x20.①当a≥4时,x2≥1.由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.②当0a4时,x21.由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减,因此f(x)在x=x2=处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以当0a1时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;当1a4时,f(x)在x=0处取得最小值.1433a反思归纳求可导函数f(x)的最值的步骤设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值,若函数f(x)中含有参数,则需要讨论参数的范围,从而决定极值存在的位置;(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,得出函数f(x)在[a,b]上的最值.跟踪训练1:导学号38486064(2017·河南开封质检)已知函数f(x)=x2eax,其中a≤0,e为自然对数的底数.(1)讨论函数f(x)的单调性;②当a0时,令f′(x)=0,得x(ax+2)=0,故x=0或x=-2a.若x0,则f′(x)0,从而f(x)在(-∞,0)上单调递减;若0x-2a,则f′(x)0,从而f(x)在(0,-2a)上单调递增;若x-2a,则f′(x)0,从而f(x)在(-2a,+∞)上单调递减.解:(1)f′(x)=x(ax+2)eax.①当a=0时,f(x)=x2,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.③当a≤-2时,f(x)在区间[0,1]上先增后减,最大值是f(-2a)=224ea.解:(2)①当a=0时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,最大值是f(1)=1.②当-2a0时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,最大值是f(1)=ea.考点三利用导数研究生活中的优化问题【例6】(2017·大同质检)如图,在半径为10的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD,其中A,B在直径上,C,D在圆周上,将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁与拼接损耗),记圆柱形罐子的体积为V,设AD=x,则Vmax=.3解析:设圆柱形罐子的底面半径为r,则由题意得AB=222103x=2πr,所以r=2300πx,所以V=πr2x=π(2300πx)2x=1π(-x3+300x)(0x103),故V′=-3π(x2-100)=-3π(x+10)(x-10)(0x103).令V′=0,得x=10(负值舍去),则V′,V随x的变化情况如表:x(0,10)10(10,103)V′+0-V↗极大值↘所以当x=10时,V取得极大值,也是最大值,所以Vmax=2000π.答案:2000π反思归纳求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用求函数最值的方法求解,注意结果与实际情况相结合.用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在开区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点.跟踪训练2:某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;解:(1)因为蓄水池侧面的总建造成本为100·2πrh=200πrh元,底面的总建造成本为160πr2元,所以蓄水池的总建造成本为(200πrh+160πr2)元.又根据题意得200πrh+160πr2=12000π,所以h=15r(300-4r2),从而V(r)=πr2h=π5(300r-4r3).因为r0,又由h0可得r53,故函数V(r)的定义域为(0,53).(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解:(2)因为V(r)=π5(300r-4r3),所以V′(r)=π5(300-12r2).令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍去).当r∈(0,5)时,V′(r)0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,53)时,V′(r)0,故V(r)在(5,53)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.备选例题【例题】(2016·山东卷)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;解:(1)由f′(x)=lnx-2ax+2a,可得g(x)=lnx-2ax+2a,x∈(0,+∞).则g′(x)=1x-2a=12axx.当a≤0,x∈(0,+∞)时,g′(x)0,函数g(x)单调递增;当a0,x∈(0,12a)时,g′(x)0,函数g(x)单调递增,x∈(12a,+∞)时,g′(x)0,函数g(x)单调递减.所以,当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);当a0时,g(x)的单调增区间为(0,12a),单调减区间为(12a,+∞