2014汤家凤线性代数辅导讲义

文都教育2014考研数学春季基础班线性代数辅导讲义第1页共20页文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1逆序—设ji,是一对不等的正整数，若ji，则称),(ji为一对逆序。定义2逆序数—设niii21是n,,2,1的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21niii，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义3行列式—称nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211称为n阶行列式，规定nnnnjjjjjjjjjaaaD21212121)()1(。定义4余子式与代数余子式—把行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211中元素ija所在的i行元素和j列元素去掉，剩下的1n行和1n列元素按照元素原来的排列次序构成的1n阶行列式，称为元素ija的余子式，记为ijM，称ijjiijMA)1(为元素ija的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如naaa00000021称为对角行列式，nnaaaaaa2121000000。2、上（下）三角行列式—称nnnnaaaaaa00022211211及nnnnaaaaaa21222111000为上（下）三角行列式，nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000，nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000。文都教育2014考研数学春季基础班线性代数辅导讲义第2页共20页3、||||BABOOA，||||BABOCA，||||BABCOA。4、范得蒙行列式—形如112112121111),,,(nnnnnnaaaaaaaaaV称为n阶范得蒙行列式，且nijjinnnnnnaaaaaaaaaaaV1112112121)(111),,,(。【注解】0),,,(21naaaV的充分必要条件是naaa,,,21两两不等。三、行列式的计算性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质1、行列式与其转置行列式相等，即TDD。2、对调两行（或列）行列式改变符号。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaabbbaaaaaaaaaaaaaaabababaaaa21211121121211121121221111211。5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即nnnnjnjjjninjijinnnnnjnjjiniinaaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaaaa212122111121121212111211，其中k为任意常数。【例题1】设321,,,,为4维列向量,且4|,,,|||321A，21|,3,,|||321B，求||BA。文都教育2014考研数学春季基础班线性代数辅导讲义第3页共20页【例题2】用行列式性质1~5计算842321123。【例题3】计算行列式2164729541732152D。【例题4】计算nnaaaaD1111111111111111321，其中)1(0niai。（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即),,2,1(2211niAaAaAaDininiiii，),,2,1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj。7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算842321123。【例题2】设2164729541732152D，求（1）24232221MMMM；（2）3231MM。四、行列式的应用—克莱姆法则对方程组000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（I）及nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（II）其中)(II称为非齐方程组，)(I称为)(II对应的齐次方程组或)(II的导出方程组。文都教育2014考研数学春季基础班线性代数辅导讲义第4页共20页令nnnnnnnnnnnnnnnnbaabaabaaDaabaabaabDaaaaaaaaaD2122221112112222211211212222111211,,,，其中D称为系数行列式，我们有定理1)(I只有零解的充分必要条件是0D；)(I有非零解（或者)(I有无穷多个解）的充分必要条件是0D。定理2)(II有唯一解的充分必要条件是0D，且),,2,1(niDDxii；当0D时，)(II要么无解，要么有无穷多个解。第二讲矩阵一、基本概念及其运算（一）基本概念1、矩阵—形如mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为m行n列的矩阵，记为nmijaA)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O。（2）对nmijaA)(，若nm，称A为n阶方阵。（3）称11E为单位矩阵。（4）对称矩阵—设nnijaA)(，若),,2,1,(njiaajiij，称A为对称矩阵。（5）转置矩阵—设mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211，记mnnnmmTaaaaaaaaaA212221212111，称TA为矩阵A的转置矩阵。2、同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。3、伴随矩阵—设nnijaA)(为n矩阵，将矩阵A中的第i行和j列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1n阶行列式，称为元素ija的余子式，记为ijM，同时称ijjiijMA)1(为元素ija的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子文都教育2014考研数学春季基础班线性代数辅导讲义第5页共20页式，记nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111，称为矩阵A的伴随矩阵。（二）矩阵的三则运算1、矩阵加减法—设mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211，mnmmnnbbbbbbbbbB212222111211，则mnmnmmmmnnnnbababababababababaA221122222221211112121111。2、数与矩阵的乘法—设mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211，则mnmmnnkakakakakakakakakakA212222111211。3、矩阵与矩阵的乘法：设mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211，nsnnssbbbbbbbbbB212222111211，则msmmnscccccccccC212222111211，其中nkkjikijbac1（sjmi,,2,1;,,2,1）。【注解】（1）OBOA,推不出OAB。（2）BAAB。（3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。若BAAB，则)2)((2322BABABABA，再如)2)(3(62EAEAEAA。（4）方程组的三种形式形式一：基本形式文都教育2014考研数学春季基础班线性代数辅导讲义第6页共20页000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（I）与mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（II）（I）（II）分别称为齐次与非齐线性方程组。记,,,2121212222111211mnmnmmnnbbbbxxxXaaaaaaaaaA则方程组（I）、（II）可改写为形式二：方程组的矩阵形式0AX，（I）bAX，（II）令mnmnnnmmbbbxxXaaaaaa11121221111,,,,,，则有形式三：方程组的向量形式Oxxxnn2211（I）Oxxxnn2211（II）二、矩阵的两大核心问题—矩阵的逆矩阵与矩阵的秩【背景】初中数学问题：对一元一次方程)0(abax，其解有如下几种情况（1）当0a时，bax两边乘以a1得abx。（2）当0,0ba时，方程bax的解为一切实数。（3）当0,0ba时，方程bax无解。矩阵形式的线性方程组解的联想：对线性方程组bAX，其解有如下几种情况（1）设A为n阶矩阵，对方程组bAX，存在n阶矩阵B，使得EBA，则BbX。（此种情况产生矩阵的逆阵理论）（2）设A为n阶矩阵，对方程组bAX，不存在n阶矩阵B，使得EBA，方程组bAX是否有解？（3）设A是nm矩阵，且nm，方程组bAX是否有解？（后两种情况取决于方程组的未知数个数与方程组约束条件的个数即矩阵的秩）（一）逆矩阵1、逆矩阵的定义—设A为n阶矩阵，若存在B，使得EBA，称A可逆，B称为A的逆矩阵，记为1AB。【例题1】设A为n阶矩阵，且OEAA22，求11)(,EAA。文都教育2014考研数学春季基础班线性代数辅导讲义第7页共20页【例题2】设A为n阶矩阵，且OAk，求1)(AE。2、关于逆矩阵的两个问题【问题1】设A为n阶矩阵，A何时可逆？【问题2】若A可逆，如何求1A？3、逆阵存在的充分必要条件定理设A为n阶矩阵，则矩阵A可逆的充分必要条件是0||A。4、逆阵的求法（1）方法一：伴随矩阵法AAA||11。（2）初等变换法)|()|(1AEEA初等行变换。5、初等变换法求逆阵的思想体系第一步，方程组的三种同解变形（1）对调两个方程；（2）某个方程两边同乘以非零常数；（3）某个方程的倍数加到另一个方程，以上三种变形称为方程组的三种同解变形。第二步，矩阵