2014考研数学高等数学精品强化讲义(张宇)

张宇高等数学精品强化引言：（1）辅导书（命题人——高等数学考试参考书）（2）笔记（重要！记忆，整理消化）（3）答疑地址（辅导书后面）内容安排：极限2次课一元函数微积分学（概念、计算、应用、逻辑）4次课多元函数微积分学（公共部分）多元微积分1次课二重积分1次课微分方程1次课级数（公共）1次课数一专场2次课第一讲极限核心考点：1、概念2、性质3、计算⎧⎨⎩函数数列4、连续与间断一、概念1、nlimlimx→→∞□是什么？是什么？（1）limx→□是什么？a）x→□有6种“独立”情形：0xx→00||xxδ−；0xx+→00xxδ−；0xx−→00xxδ−；x→∞0,||XxX∃；x→+∞0xX；x→−∞0xX−b）极限运算的过程性若0lim()xxfx→存在⇒()fx在“0xx→”时处处存在【例】01sin(sin)lim1sinxxxxx→【解】0011sin(sin)sin(sin)lim1lim=11sinsin10xxxxxxxxxxkπ→→≠，不存在。分母必须趋近于，而当x=时候，分母为0了。x应该取0邻域内的所有点，所以本题不满足定义。（2）nlim→∞是什么？a）n→∞+∞专指b）“0,NnN∃当时”2、定义（1）函数“00,0,0||xxεδδ∀∃−当时，恒有|()|fxAε−”0lim()xxfxA→⇔=（2）数列“0,0,Nε∀∃当nN时，恒有||nxaε−”limnnxa→∞⇔=【例】以下三个说法，1）“0,0,Xε∀∃当xX时，恒有2014|()|fxAeε−”lim()xfxA→+∞⇔=；2）“01,,0||NKxxK∀∃−≤正整数正整数当时，恒有1|()|2fxAN−”0lim()xxfxA→⇔=；3）“(0,1),,Nε∀∈∃≥正整数当nN时，恒有||2nxaε−≤”limnnxa→∞⇔=正确说法的个数为（c）A)0B)1C)2D)3【分析】关键有二：（1）“ε”——无论尺度“ε”以何种形式出现，必须且仅须满足0⎧⎨⎩可以任意小（2）是“()≤≥”还是“()”？000||0||xxxxδδ−≤−完全等价！二、性质1、唯一性若0lim()xxfxA→=，则A唯一；limnnxa→∞=，则a唯一。如：0,lim0,1,0sinlim||1,0xxxxexxxxx→∞+−→+∞→+∞⎧=⎨→−∞⎩⎧→=⎨−→⎩不存在不存在【例】已知210ln(1)lim[[]]ln(1)xxxeIkxe→+=++存在，求k，I。【解】22211002222ln(1)ln(1)ln(1)[[]]ln(1)ln(1)ln(1)212211limlimlimlimlimtxxttxxxxttttttttteeekxeeeeeeeeee++→+∞→→→+∞→+∞++++==+++++===++2I+=所以222100ln(1)0ln(1)limlimxxxxxxeeee−−→→+==+0lim[]xkxk−→=−Ik−=−所以综上：k=-2，I=22、有界性（局部有界性）【Th】（会用会证）若0lim()()xxfxA→=∃，则00,0,0||Mxxδδ∃−使当时，有|()|fxM≤。【例】2||sin(2)()(1)(2)xxfxxxx−=−−在下列哪个区间内有界（A）A）（-1,0）B）（0,1）C）（1,2）D）（2,3）【分析】“函数有界性”的判别法归纳如下：（1）理论判别法：若()fx在[,]ab上连续⇒()fx在[,]ab上有界（2）计算判别法：若()(,)lim()lim()xaxbfxabfxfx+−→→⎧⎪⎪∃⎨⎪∃⎪⎩在内连续，则()fx在(,)ab内有界�（3）若lim()xfx→∃□不，则转向四则运算（拆）【解】()()()()2211sin(3)sin(3)sin(3)291212limlimxxxxxxxx++→−→−−−−−−−==−×−−−−()()()20sin(2)sin(2)1412limxxxxxx−→−−−=−−−极限存在则有界【例】（2014）32(1)sin()(1)||xxfxxx−=+，讨论()fx在其定义域上的有界性【解】333222000332200(1)sin(1)sin(1)1(1)||(1)(1)(1)sin(1)sin1(1)||(1)limlimlimlimlimxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+++−−→→→→→−−−===−+++−−==+−+3322(1)sin(1)sin1(1)||(1)limlimlimxxxxxxxxxxx→+∞→+∞→+∞−−==×++存在即有界乘以有界等于有界3322--(1)sin(1)=sin(1)||(1)limlimxxxxxxxxxx→∞→∞−−−++同理，也有界。综上：f(x)在定义域内是有界的。3、保号性（局部保号性）（1）若lim()0xfxA→=□，则()0fx（脱帽法）（2）若()0fx，则lim()0xfxA→=≥□（若极限存在）（戴帽法）【例】设()fx连续，且'(0)1f=，则0δ∃，使得（C）A）()(0,)fxδ在单调增B）()(0,)fxδ在单调减C）(0,),()(0)xfxfδ∀∈有D）(-0),()(0)xfxfδ∀∈，有【解】()'0()(0)()(0)00000limxfxffxffxx→−−=⇒−−()(),0,()(0)0,,()(0)xfxfxfxfδδ∈−∈时时【注】（1）',()0()xIfxfxI∀∈⇒在上单调增（2）'00,()0()xIfxfxI∀∈不能推出在上单调增三、计算1、函数极限的计算（1）化简先行（2）基础题（3）技术题（1）化简先行【例1】302sin(sin)limtanxxxxx→+−——提出极限不为零的因式【解】33002sin(sin)sin2lim2limtantan6xxxxxxxxx→→+−−==−【例2】301315limxxxx→+−+——善于使用等价无穷小替换【解】()()333000013115115113151311limlimlimlim6xxxxxxxxxxxxxx→→→→+−−+−+−+−++−==−=−【例3】2lim1(1)xxxex→+∞+【解】22211limln(1)21ln(1)limlim1(1)xxxxxxxxxxxeeeeex→+∞⎛⎞−+⎜⎟⎝⎠→+∞→+∞+===+()()vxux——幂指函数ln,(0)vvuueu=【注】不许人为制造同一极限号后x→□的先后顺序（2）基础题1）0,,.00∞∞∞【例1】222cos40limxxxeex−→−【解】2222cos12cos222cos22cos44430000112cos22sin1limlimlimlim412xxxxxxxxxxeeexxxxeexxxx−−+−−→→→→−−−+−====【例2】1limlnln(1)xxx−→−�重要公式0limln0(0)xxxαα+→=1000010.∞∞⎧=⎪∞⎪⎪∞⎨⎪=⎪⎪⎩∞分母设置有原则，简单因式才下放:,:ln,arcsin,xxexxaxbαβ⎧⎪⎨+⎪⎩简单复杂【解】()()1101-limlnln(1)lim1ln1limln0xxtxtxxxxtt−−+→→→=−=−−=−=令2）-∞∞a）有分母，则通分【例】22201coslim()sinxxxx→−【解】222222222240001sin21coscossin44lim()limlimsinsin3xxxxxxxxxxxxxx→→→−−−===b）没有分母，创造分母，再通分【例1】21lim[ln(1)]xxxx→∞−+【解】1xt=令220211[ln(1)]1ln(1)1lim[ln(1)]limlim12xxtttxxxxxtx→∞→∞→−+−+−+===【例2】（2014）21lim[4ln(2)(2ln2)]xxxxx→+∞++−【解】1xt=令20014ln(2)2ln2141lim[4ln(2)(2ln2)]limlimln(2)ln212424xtttttxxxtxttt++→+∞→→⎛⎞++−+++−==++=+⎜⎟⎜⎟++⎝⎠3）00,0,1∞∞【例1】12lim(1)xxxx→+∞++【解】222111ln(1)limln(1)lim21lim(1)lim1xxxxxxxxxxxxxxeee→+∞→+∞+++++→+∞→+∞++====【例2】1cossin4lim(tan)xxxxπ−→【解】()()11tan1cossintan1cossin41cossin444tan1limcossin2lim(tan)lim1tan1lim1tan1xxxxxxxxxxxxxxxxxxeeππππ−×−−−→−→→→−−−=+−=+−==（3）技术题1）用好泰勒公式a）熟记8个公式（0x→）333333331sin()61arcsin()61tan()31arctan()3xxxxxxxxxxxxxxxx=−+=++=++=−+����2442332332211cos1()224111()2611ln(1)()23(1)(1)1()2xxxxxexxxxxxxxxxxxxαααα=−++=+++++=−++−+=+++����b）掌握()nx�的计算规则①()()(),min{,}mnlxxxlmn±==���②()*()()*()()mnmnmnmnxxxxxx++==�����③()()(),0mmmkxkxxk==≠���常数c）展开原则①AB型(*)1AABB=——“上下同阶”原则若分母（分子）是kx，则将分子（分母）展开至kx②(())ABABAB−+=−−型——“幂次最低”原则将,AB分别展开至系数不相等的x的最低次幂为止。�【例】（2014）当0x→时，22cosxxe−−与kcx为等价无穷小，求,ck【解】()2224424424421111cos1,1()224281cos()1214,12xxxxxoxexxoxxexoxkc−−=−++=−++−=−+==−所以【注】0x→3224sin~21sin~61sin~3xxxxxxxxx+−−（2014）设2220()lim1*sinxxfxxx→+=，求2220sin()lim*sinxxfxxx→+【解】2220222222224000sin()lim,*sin()sin()sin1limlimlim1*sin*sin3xxxxxfxAxxxfxxfxxxAxxxxx→→→→+=++−−==−=令2）无穷小比阶()xaftdt⎧⎪⎨⎪⎩∫复合函数【Th1】当0x→时，()~,()~,,,(),()0,[()]~mnmmnfxaxgxbxabfxgxfgxabx≠均则【Th2】当0x→时，(),()fxgx连续但不为0，且()~()fxgx，则00()~()xxftdtgtdt∫∫【例1】0x+→时，20tan~xktdtcx∫，求c，k【解】232033232202tan322tan133xxtdtxtdtxx××=∫∫∼∼所以k=3【例2】0x+→时，30sin~xktdtcx∫，求c，k【解】3403201sin~41sin~4xxtdtxtdtx∫∫所以k=2【例3】0x→时，2ln(1)0sin~xxktdtcxt−+∫，求c，k【解】2200222ln(1)40sin1~~21ln(1)~2sin11~22xxxxtdttdtxtxxxtdtxt−+−+⎛⎞⎜⎟⎝⎠∫∫∫所以k=42、数列极限的计算（1）转化成函数【例】21lim(*tan)()nnnnn→∞为自然数（2）通项nx已知，但无法转化成()fx【例1】22212lim(...)()12nnnnnnnnnn→∞+++++++++为自然数【解】()()()()222222122111121(...)212211111111lim,lim,222122nin