导数与单调性提高讲义

1/12导数与单调性1、函数单调性的方法：定义法、图像法、复合函数法和导数法2、函数的单调性：在某个区间（a,b）内，如果()0fx，那么函数()yfx=在这个区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx=在这个区间内单调递减.如果()0fx=，那么函数()yfx=在这个区间上是常数函数.3、注意：函数()yfx=在（a,b）内单调递增，则()0fx（等于零不恒成立），()0fx是()yfx=在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.类型一求单调区间（注意先求定义域）例1（无参的具体函数）(1)(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)[答案]D解法2：乘积函数的图像画出来，已知选D。(2)函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．[答案](－∞，－1)注意：函数的定义域。(3)函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是()A.－π，－π2和0，π2B.－π2，0和0，π2C.－π，－π2和π2，πD.－π2，0和π2，π[答案]A注意：函数为偶函数，根据奇偶性与单调性的关系，排除B、C。练习：1．（2004全国卷Ⅱ理科）函数cossinyxxx=−在下面哪个区间内是增函数（）（A）(2，23)（B）(，2)（C）(23，25)（D）(2，3)2.曲线xxyln22−=的单调减区间是()2/12A.]1,0(;B.),1[+;C.]1,(−及]1,0(;D.)0,1[−及]1,0(;3．函数()lnfxxx=的单调递减区间是．1(0,)e例2（有参的具体函数）已知函数，．当时，讨论函数的单调性.【解题思路】注意函数的定义域.在确定函数的定义域之后再对函数进行单调性的讨论【解析】∵，∴（1）当时，若为增函数；为减函数；为增函数．（2）当时，为增函数；为减函数；为增函数．点评：有参的具体函数求完导数后，一般转化为含参的一元一次不等式或一元二次不等式，而他们一般都需要分类讨论。常见的含参一元二次不等式三种讨论类型：（1）讨论判别式的符号：如2210().xaxaR−+（2）讨论两根的大小：).(03222Raaaxx−−（3）讨论a的符号：(x－1)(ax－2)＞0。类型二、已知在某区间上的单调性求参数的值或取值范围21()ln(1)2fxxmxmx=−+−mR0m()fx2(1)(1)()()(1)mxmxmxxmfxxmxxx+−−−+=−+−==10m−()0,,()0,()xmfxfx−时(),1,()0,()xmfxfx−时()1,,()0,()xfxfx+时1m−()0,1,()0,()xfxfx时()1,,()0,()xmfxfx−时(),,()0,()xmfxfx−+时3/12例题：函数32()3fxxaxx=−−一．已知单调区间求参数的值（1）函数()fx的减区间为1(,3)3−，求实数a的值。提示：2'()323fxxax根据2'()3230fxxax的两根，得4a（2）函数()fx在(0,3)上递减，在(3,)+递增，求实数a的值。提示：'(3)04fa二．已知函数在某区间的单调性求参数的范围（3）函数()fx在1(,3)3−上递减，求实数a取值范围。提示：2'()3230fxxax在1(,3)3−上恒成立，得4a（4）函数322()log(3)gxxaxx=−−在(1,2)递增，求实数a取值范围。提示：双恒成立问题，2a三．已知函数在某区间不单调求参数的范围（5）函数()fx在(1,2)上单调，求实数a取值范围。(无极值)提示：90,4aa或（6）函数()fx在(1,2)上不单调，求实数a取值范围。（至少有一个极值点）提示：904a注：单调性和极值的相互关系。四．已知函数在某区间上存在某种单调区间，求参数的范围（7）函数()fx在(3,4)存在单调递增区间，求a的取值范围.提示：458a4/12课后练习1.已知函数（I）求的单调区间；（II）若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点．．．．．．．．．．，求m的取值范围.解：（1）当时，对，有所以的单调增区间为当时，由解得或，由解得，所以的单调增区间为，单调减区间为.（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得.由（1）中的单调性可知，在处取得极大值1，在处取得极小值-3.因为直线与函数的图象有三个不同的交点，所以的取值范围是.2.已知函数．（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；（II）若函数在区间上不单调．．．，求的取值范围．解:（Ⅰ）由题意得又，解得，或（Ⅱ）分析：函数在区间不单调，等价于在区间上有极值点。3()31,0fxxaxa=−−()fx()fx1x=−()yfx='22()333(),fxxaxa=−=−0axR'()0,fx()fx(,)−+0a'()0fxxa−xa'()0fxaxa−()fx(,),(,)aa−−+(,)aa−()fx1x=−'2(1)3(1)30,1.faa−=−−==3'2()31,()33,fxxxfxx=−−=−'()0fx=121,1xx=−=()fx()fx1x=−1x=ym=()yfx=m(3,1)−32()(1)(2)fxxaxaaxb=+−−++(,)abR()fx3−,ab()fx(1,1)−a)2()1(23)(2+−−+=aaxaxxf−=+−===3)2()0(0)0(aafbf0=b3−=a1=a)(xf)1,1(−)(xf)1,1(−5/12函数'()0(-1,1)fx=在上有一个根或两个不等实根解：由'()0fx=得，122,3axax+==−又函数在区间不单调2111151-1132112--3223aaaaaaaaaa+−−−−++−−或解得：或11(-5,-)(-,1)22a3.已知函数()1()2ln2fxaxaxx=−−−．（1）试讨论()fx的单调性；（2）如果当1x时，()21fxa−−，求实数a的取值范围；（3）记函数31()()(4)ln3agxfxaxaxx+=+−+−，若()gx在区间1,4上不．单调,求实数a的取值范围．解：（1）()fx的定义域为()0,+，221()2afxaxx−=−+2(21)(1)xaxx+−=−……2分①若0a，则()0fx，所以()fx在()0,+上单调递增②若0a，则由()0fx=，得1xa=，且当10,xa时，()0fx，当1,xa+时，()0fx，所以()fx在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减；……4分（2）由（1）知：①若0a时，()fx在()1,+上单调递增，所以()(1)21fxfa=−−，不合；②若01a时，()fx在11,a上单调递增，在1,a+上单调递减；所以1()fxfa，又1(1)21ffaa=−−，不合；③若1a时，()fx在()1,+上单调递减；所以()()121fxfa=−−，综上所述，1as5u…………7分)(xf)1,1(−6/12（3）31()()(4)ln3agxfxaxaxx+=+−+−2'22232232()aaxxagxaxxx+−++=−++=()gx在区间[1,4]上不．单调22320axxa−++=(1,4)x在上有解且0变量分离得，2223xax−=+222()((1,4))1xtxxx−=+令，求得()tx的值域为10,3103a……10分4.若3()fxaxx=+在区间[－1,1]上单调递增，求a的取值范围.【解题思路】利用函数()fx在区间[,]ab上递增可得：'()0fx；函数()fx在区间[,]ab上递减可得：'()0fx.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.【解析】2()31fxax=+又()fx在区间[－1,1]上单调递增2()310fxax=+在[－1,1]上恒成立即213ax−在x[－1,1]时恒成立.13a−故a的取值范围为1[,]3−+5.已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【解题思路】两条直线垂直斜率互为负倒数.在区间上单调递增，即为函数的递增区间的子集.【解析】（Ⅰ）的图象经过点∴∵，∴32()fxaxbx=+(1,4)MM90xy+=,ab()fx[,1]mm+m[,1]mm+[,1]mm+32()fxaxbx=+(1,4)M4ab+=2()32fxaxbx=+(1)32fab=+7/12由已知条件知即∴解得：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令则或∵函数在区间上单调递增∴∴或即或6.设函数),(2131)(22Rbabxaxxxg−+=，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为).(xf（1）若方程)(,420)(xfxf求和有两个实根分别为−=的表达式；（2）若22,]3,1[)(baxg+−求上是单调递减函数在区间的最小值.【解题思路】注意一元二次方程韦达定理的应用条件.在区间[-1,3]上单调递减，即导函数在相应区间上恒小于等于0.再者注意目标函数的转化.【解析】（1）根据导数的几何意义知baxxxgxf−+==2)()(由已知-2、4是方程02=−+baxx的两个实根由韦达定理，82)(,8242422−−==−=−=−−=+−xxxfbaba（2）)(xg在区间[—1，3]上是单调递减函数，所以在[—1，3]区间上恒有1(1)()19f−=−329ab+=4329abab+=+=13ab==32()3fxxx=+2()36fxxx=+2()360fxxx=+2x−0x()fx[,1]mm+[,1](,2][0,)mm+−−+0m12m+−0m3m−8/12,931931,0)3(0)1(]3,1[0)(,0)()(2222方内的点到原点距离的平可视为平面区域而也即即可这只需满足恒成立在即−++−+−−−+=−+==abbabaabbaffbaxxxfbaxxxgxf其中点（—2，3）距离原点最近，所以当22,32baba+=−=时有最小值139/12导数与单调性（1）学案1、函数单调性的方法：定义法、图像法、复合函数法和导数法2、函数的单调性：在某个区间（a,b）内，如果()0fx，那么函数()yfx=在这个区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx=在这个区间内单调递减.如果()0fx=，那么函数()yfx=在这个区间上是常数函数.3、注意：函数()yfx=在（a,b）内单调递增，则()0fx（等于零不恒成立），()0fx是()yfx=在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.类型一求单调区间（注意先求定义域）例1（无参的具体函数）(1)(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)思考：能不能不通过求导的方法选出正确答案？(2)函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．思考：这道题的价值在哪里？(3)函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是()A.－π，－π2和0，π2B.－π2，0和0，π2C.－π，－π2和π2，πD.－π2，0和π2，π思考：能不能利用函数的性质排除某些选