数学模型姜启源-第二章(第五版)

•研究对象的机理比较简单•用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的可以利用初等数学方法来构造和求解模型尽量采用简单的数学工具来建模如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.第二章初等模型第二章初等模型2.1双层玻璃窗的功效2.2划艇比赛的成绩2.3实物交换2.4汽车刹车距离与道路通行能力2.5估计出租车的总数2.6评选举重总冠军2.7解读CPI2.8核军备竞赛2.9扬帆远航2.10节水洗衣机2d墙室内T1室外T2dd墙l室内T1室外T2问题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失.假设•热量传播只有传导，没有对流.•T1,T2不变，热传导过程处于稳态.•材料均匀，热传导系数为常数.建模热传导定律dTkQQ1Q2Q~单位时间单位面积传导的热量T~温差,d~材料厚度,k~热传导系数2.1双层玻璃窗的功效双层单层dd墙l室内T1室外T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta~内层玻璃的外侧温度Tb~外层玻璃的内侧温度k1~玻璃的热传导系数k2~空气的热传导系数dTTkQa111dlhkkhssdTTkQ,,)2(212111建模lTTkba2dTTkb21记单层玻璃窗传导的热量Q2dTTkQ221122d墙室内T1室外T2Q2双层与单层窗传导的热量之比dlhkkhssQQ,,22212121QQk1=4~810-3(J/cm·s·kw·h),k2=2.510-4,k1/k2=16~32对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，取k1/k2=16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模hQ1/Q242O0.060.030.026模型应用取h=l/d=4,则Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失.结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系数k2极低,而这要求空气非常干燥、不流通.房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.dlhhQQ,18121实际上双层窗的功效不会如此之大!2.2划艇比赛的成绩赛艇2000m成绩t(min)种类1234平均单人7.167.257.287.177.21双人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84空艇重w0(kg)桨手数n16.313.618.114.7对四种赛艇(单人、双人、四人、八人)4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系.试建立数学模型揭示这种关系.问题准备调查赛艇的尺寸和质量l/b,w0/n基本不变艇长l艇宽bl/b(m)(m)7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0问题分析•前进阻力~浸没部分与水的摩擦力•前进动力~桨手的划桨功率分析赛艇速度与桨手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:划桨功率赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力桨手数量艇重浸没面积•对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定.•运用合适的物理定律建立模型.模型假设1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比2）v是常数，阻力f与sv2成正比符号：艇速v,浸没面积s,浸没体积A,空艇重w0,阻力f,桨手数n,桨手功率p,桨手体重w,艇重W.艇的静态特性艇的动态特性3）w相同，p不变，p与w成正比桨手的特征模型建立fsv2,pwv(n/s)1/3s1/2A1/3,AW(=w0+nw)nsn2/3vn1/9比赛成绩tn–1/9npfv,模型检验nt17.2126.8846.3285.84bant11.021.7ntnbatloglog线性最小二乘法利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型tn–1/9进行检验.与模型吻合！tn12487.216.886.325.84••••O划艇比赛的成绩•对实际数据做比较、分析，发现并提出问题.•利用物理基本知识分析问题.•模型假设比较粗糙.•利用合适的物理定律及简单的比例方法建模(只考虑各种艇的相对速度).•模型结果与实际数据十分吻合(巧合！)问题甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分.研究实物交换方案.yxp.用x,y分别表示甲,乙占有X,Y的数量.设交换前甲占有X的数量为x0,乙占有Y的数量为y0,作图：若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点p(x,y)都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y).xyy0Ox0••2.3实物交换xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2..甲的无差别曲线分析与建模如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度,即p1,p2对甲是无差别的.MN将所有与p1,p2无差别的点连接起来,得到一条无差别曲线MN.线上各点的满意度相同,线的形状反映对X,Y的偏爱程度.N1M1p3(x3,y3).比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上,于是形成一族无差别曲线（无数条）.yxp1.yxp2.c1yOxf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：•单调减(x增加,y减小)•下凸(凸向原点)•互不相交在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的y换取较少的x;在p2点占有y少、x多，就要以较多的x换取较少的y.甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1~满意度（f~等满意度曲线）甲的无差别曲线xyOg(x,y)=c2c2乙的无差别曲线族g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）.双方的交换路径xyy0Ox0f=c1O'x'y'g=c2乙的无差别曲线族g=c2(坐标系x'O'y',且反向）甲的无差别曲线族f=c1ABp•P'•双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上!因为在AB外的任一点p',(双方)满意度低于AB上的点p.两族曲线切点连线记作AB分析与建模AB交换方案的进一步确定交换方案~交换后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形内任一点交换路径AB双方的无差别曲线族X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线CD.AB与CD的交点p设X单价a,Y单价b,则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)等价交换原则x0yy0O..xp.2.4汽车刹车距离与道路通行能力提高道路通行能力是现代城市交通面临的重要课题.背景和问题•车辆速度越高、密度越大，道路通行能力越大.•介绍交通流的主要参数及基本规律；•讨论汽车刹车距离与道路通行能力两个模型.•车速高，刹车距离变大，车辆密度将受到制约.需要对影响通行能力的因素进行综合分析.交通流的主要参数及基本规律流量q~某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数(辆/h)密度k~某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数(辆/km)速度v~某时刻通过道路某断面的车辆速度(km/h)交通流~标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响.借用物理学概念,将交通流看作一辆辆汽车组成的连续流体,用流量、速度、密度3个参数描述其基本特性.vkq3个参数之间的基本关系速度v与密度k的关系vf~畅行车速(k=0时)kj~阻塞密度(v=0时)数据分析、机理分析流量q与密度k的关系车速v=vf/2时流量q最大密度k变大，流量q增加；k=kj/2时q最大；k继续变大，q减小.车流密度加大司机被迫减速交通流的主要参数及基本规律vkq)/1(jfkkvv线性模型)/1(jfkkkvq抛物线)/1(fjvvvkq流量q与速度v的关系)/1(jfkkkvqvkq)/1(jfkkvv)/1(fjvvvkq速度v流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度k流量qkm=kj/2~最大流量时的密度vm=vf/2~最大流量时的速度交通流的主要参数及基本规律车速越快刹车距离越长.刹车距离~从司机决定刹车到车完全停止行驶的距离.汽车刹车距离模型二者是线性关系吗？车速v(km/h)20406080100120140刹车距离d(m)6.517.833.657.183.4118.0153.5d与v不是线性关系！20406080100120140050100150200vd需对刹车过程作机理分析，建立d与v的数学模型.测试数据问题分析最大制动力与车质量成正比,使汽车作匀减速运动常数刹车距离~反应距离、制动距离常数反应距离~司机决定刹车到制动器开始起作用.制动距离反应距离反应时间车速司机状况制动系统灵活性制动器作用力车重、车速道路、气候…制动距离~制动器开始起作用到汽车完全停止.模型假设1.刹车距离d为反应距离d1与制动距离d2之和.2.反应距离d1与车速v成正比,比例系数为反应时间.3.刹车时使用最大制动力F：•F作的功等于汽车动能的改变.•F与车的质量m成正比.F=mad1=c1v模型建立Fd2=mv2/2d=d1+d2制动距离为d2时，制动力F作的功为Fd2车速从v变成0，动能的变化为mv2/2d2=c2v2,c2=m/2Fd=c1v+c2v2参数估计•调查交通工程学的相关资料：•根据测试数据对模型作拟合.司机反应时间c1约为0.7~1s，系数c2约为0.01(mh2/km2)c2=1/2a城市通行能力模型道路通行能力~单位时间内通过某断面的最大车辆数.通行能力表示道路的容量，交通流量表示道路的负荷.饱和度~流量与通行能力的比值,表示道路的负荷程度.通行能力~在安全条件下，当具有标准长度和技术指标的车辆，以前后两车最小车头间隔连续行驶时，单位时间内通过道路某断面的最大车辆数N(辆/h).v~车速(km/h)，D~最小车头间隔(m)N=1000v/D城市干道的通行能力最小车头间隔D主要由刹车距离d决定：d0~车身标准长度与两车间安全距离之和，取固定值.车速v一定时，道路通行能力N与c1，c2，d0（道路、车辆、司机等状况）有关.城市通行能力模型D=d+d0d=c1v+c2v2N=1000v/D当d0，c1，c2变大时最大通行能力Nm减小.城市通行能力模型最大通行能力02121000dccNm一些人喜欢记驶过身旁的汽车号码.两难境地的决策与朋友打赌的“骰子”共识：出现任何号码汽车的机会相同.随意记下驶过的10辆出租车牌号：0421,0128,0702,0410,0598,0674,0712,0529,0867,0312估计这座城市出租车的总数.出租车牌号从某一个数字0101按顺序发放.2.5估计出租车的总数估计出租车的总数问题分析0x0x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x10个号码从小到大重新排列.[x0,x]区间内全部整数值~总体x1,x2,…,x10~总体的一个样本根据样本和x0对总体的x作出估计.起始号码(已知)终止号码(未知)出租车总数为x-x0+1起始号码x0平移为0001模型建立总体~全部号码{0001,0002,…,x}样本~总体中的n个号码从小到大排列x1,x2,…,xn建立由x1,x2,…,xn估计x的模型基本假定：每个xi取自总体中任一号码的概率相等.x~出租车总数估计出租车的总数模型1平均值模型模型建立总数是样本均值的2倍模型2中位数模型x0=1x1x2x3……xn-1xnxx1-1x-xn假定：样本的最小值与最大值在总体中对称.模型3两端间隔对称模型x1-1=x-xn模型4平均间隔模型把起始号码和样本排成数列：1,x1,x2,…,xn,相邻两数有n个间隔：x11,x2x11,…,xnxn-11n个间隔的平均值作为xn与x间隔的估计模型5区间均分模型将总体区间[1,x]平均分成n份.每个小区间长度假定：样本中每个xi都位于小区间的中点.xxn应是小区间长度的一半计算与分析第1样本：0321,0028,0602,0310,0498,0574,0612,0429,0767,0212第2样本：0