数学模型姜启源-第七章(第五版)

•案例主要取自决策、排序、分配等方面的问题.第七章离散模型连续模型离散模型微分方程线性、非线性规划差分方程整数规划经济、社会等领域科学、技术等领域•从应用角度只涉及代数、几何和图的一点知识.7.1汽车选购7.2职员晋升7.3厂房新建还是改建7.4循环比赛的名次7.5公平的席位分配7.6存在公平的选举吗7.7价格指数7.8钢管的订购和运输第七章离散模型•对待选汽车作出综合评价,为选购确定决策.•考虑的因素：经济适用、性能良好、款式新颖.•对3个因素在汽车选购中的重要性有大致比较.•对待选汽车在每一因素中的优劣程度有基本判断.7.1汽车选购人们在日常生活中常常碰到类似的决策问题：选择旅游目的地，选择学校上学，选择工作岗位.从事各种职业的人在工作中经常面对决策：购买哪种设备；选择研究课题；选拔秘书；对经济、环境、交通、居住等方面的发展做出规划.汽车选购等决策问题的共同特点什么是多属性决策为一特定目的在备选方案中确定一个最优的(或给出优劣排序、优劣数值),而方案的优劣由若干属性(准则、特征、性能)给以定量或定性的表述.•考虑的因素常涉及经济、社会等领域，对它们的重要性、影响力作比较、评价时缺乏客观的标准.•待选对象对于这些因素的优劣程度常难以量化.多属性决策是处理这类决策问题的常用方法.要素：1.决策目标、备选方案与属性集合2.决策矩阵3.属性权重4.综合方法.1.确定属性集合的一般原则：•全面考虑,选取影响力(或重要性)强的.•属性间尽量独立(至少相关性不太强)•不选难以辨别方案优劣的(即使影响力很强).•若数量太多(如大于7个),应将它们分层.•尽量选可量化的,定性的也要能明确区分档次.多属性决策的要素2.决策矩阵以方案为行、属性为列、每一方案对每一属性的取值为元素构成的矩阵.表示方案对属性的优劣(或偏好)程度.可以定量的属性只能定性的属性3.属性权重对目标影响力(或重要性)的权重分配将决策矩阵与属性权重加以综合,得到最终决策的数学方法.4.综合方法要素：1.决策目标、备选方案与属性集合2.决策矩阵3.属性权重4.综合方法.•3个属性为选购准则~价格X1,性能X2,款式X3•3个方案供决策~选购的汽车型号A1,A2,A3dijX1X2X3A12597A21877A31255dij~Ai对Xj的取值(原始权重)•3种汽车价格(万元):25,18,12•3种汽车性能(打分,10分满分):9,7,5•3种汽车款式:7,7,5以汽车选购为例说明如何确定决策矩阵、属性权重以及利用综合方法得到决策结果.1）决策矩阵及其标准化m个备选方案A1,A2,…,Am0,)(ijnmijddD~决策矩阵dij~Ai对Xj的取值决策矩阵的获取•调查、量测各方案对属性的取值(定量,偏于客观).•决策者打分评定或用层次分析法的成对比较得到(定性,偏于主观).n个属性X1,X2,…,Xn551277187925D汽车选购1）决策矩阵及其标准化551277187925D决策矩阵D的列~各方案对某属性的取值(属性值).各属性物理意义(包括量纲)不同效益型属性对费用型的属性值dij作倒数变换——将全部属性统一为效益型.5512/17718/17925/1D性能X2,款式X3费用型属性标准化第1步：区分价格X1决策矩阵标准化ijmiijijddr,2,1maxmiijijijddr1miijijijddr1210,)(ijnmijrrRR的列最大值为1~最大化R的列和为1~归一化R的列模为1~模一化1）决策矩阵及其标准化标准化第2步：对dij作比例尺度变换当且仅当dij=0时才有rij=0R~标准化的决策矩阵比例变换假定:属性的重要性随属性值线性变化.2）属性权重的确定w1,w2,,wn~属性X1,X2,…,Xn的权重，njjw11•用层次分析法的成对比较得到.偏于主观•根据决策目的和经验先验地给出.•信息熵法偏于客观熵~信息论中衡量不确定性的指标，信息量的(概率)分布越一致，不确定性越大.R归一化的每一列),,,(21mjjjrrr~各方案对Xj信息量的(概率)分布.2）属性权重的确定mkrrkEmiijijjln1,ln1方案关于属性Xj的熵rij=1/m时Ej=1.属性Xj对于方案的区分度rij只有一个1其余为0时Ej=0rij(i=1,2,…,m)相差越大,Ej越小,Xj越能辨别优劣.10,1jjjFEFnjFFwnjjjj,,2,1,1Xj的权重(归一化的区分度)Xj对于辨别方案优劣不起作用.Xj最能辨别方案优劣.汽车选购2）属性权重的确定5512/17718/17925/1DX1X2X30.22360.42860.3684rij0.31060.33330.36840.46580.23810.26323种汽车价格X1取值相差最大,款式X3取值相差最小.w1最大•rij(i=1,2,…,m)的均方差可作为区分度Fj(m较大时).归一化Ej0.95940.97490.9895Fj0.04060.02510.0105wj0.53300.32930.1377w3最小方案对目标的权重（综合取值）综合方法决策矩阵属性权重+1.简单加权和法(SAW,SimpleAdditiveWeighting)njjijnjijimiwrvv11,,2,1,nmijrR)(Tn),,,(21方案Ai对n个属性的综合取值为对决策矩阵采用不同的标准化,得到的结果会不同.RwvTmvvvv),,,(213）主要的综合方法2.加权积法（WP,WeightedProduct）njwijimidvj1,,2,1,•可直接用方案对属性的原始值dij,不需要标准化.•若效益型属性的权重取正值，则费用型属性的权重应取负值.将SAW的算术加权平均改为几何加权平均：3.接近理想解的偏好排序法(TOPSIS,TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution）n个属性、m个方案视为n维空间中m个点的几何系统•每个点的坐标由各方案标准化的加权属性值确定.•决策矩阵模一化,以便在空间定义欧氏距离.•正理想解(最优方案)由所有最优加权属性值构成.•负理想解由所有最劣加权属性值构成.•定义距正、负理想解距离的数量指标:相对接近度.•按照相对接近度确定备选方案的优劣顺序.汽车选购5512/17718/17925/1D统一为效益型的决策矩阵用3种综合方法确定3种汽车的优劣顺序4508.04016.07727.06312.05623.05151.06312.07229.03709.0,7143.05556.00000.10000.17778.06667.00000.10000.14800.0,2632.02381.04658.03684.03333.03106.03684.04286.02236.0RRRR最大化R归一化R模一化属性权重取信息熵法结果:w=(0.5330,0.3293,0.1377)T1.简单加权和法(SAW)Rwvv=(0.3110,0.3260,0.3629)TR归一化R最大化v=(0.7228,0.7492,0.8143)T2.加权积法(WP)v=(0.3162,0.3277,0.3562)Tv归一化njwijijdv1v=(0.4847,0.5316,0.5639)Tv=(0.3067,0.3364,0.3569)Tv归一化汽车选购用3种综合方法确定3种汽车的优劣顺序3.理想解法(TOPSIS）0621.01323.04118.00869.01852.02746.00869.02381.01977.0)(ijvVR模一化vij=rijwj)0869.0,2381.0,4118.0(v)0621.0,1323.0,1977.0(v正理想解负理想解312)(jjijivvS312)(jjijivvSAi与v+距离Ai与v--距离iiiiSSSCS+=(0.2141,0.1470,0.1087)S--=(0.1087,0.0966,0.2141)相对接近度C+=(0.3368,0.3966,0.6633)C+=(0.2411,0.2840,0.4749)归一化方法方案SAW(R归一化)SAW(R最大化)WPTOPSISA10.31100.31620.30670.2411A20.32600.32770.33640.2840A30.36290.35620.35690.4749汽车选购用3种综合方法确定3种汽车的优劣顺序SAW(R归一化,最大化),WP结果差别很小,TOPSIS结果差别稍大.优劣顺序均为A3,A2,A1•简单、直观的加权和法(SAW)是人们的首选.•SAW的前提~属性之间相互独立,并且具有互补性.多属性决策应用的步骤1.确定决策目标、备选方案与属性集合；2.用量测、调查等手段确定决策矩阵和属性权重,推荐用信息熵法由决策矩阵得出属性权重；3.将全部属性统一(如效益型)，并采用归一化、最大化或模一化对决策矩阵标准化；4.选用加权和、加权积、TOPSIS等综合方法计算方案对目标的权重，作为决策的依据.1.比例尺度变换的归一化和最大化归一化~分配模式(DistributiveMode)•某一方案属性值改变引起其他方案属性值随之改变.最大化~理想模式(IdealMode)•任一方案的属性值独立于最优方案外的其他方案.•列最大值为1:各方案与占资源1的最优方案比较.•列和为1:各方案分配总量固定(1单位)的资源.多属性决策应用中的几个问题•方案的优劣排序大体上一致(方案数量不多时).•两种模式计算的结果数值上一般不会相同.在实际应用中究竟应该采用哪种模式?分配模式~决策者关心每个方案相对于其他方案的占优程度;需要对候选方案的优劣给出定量评价;特别用于资源分配问题.理想模式~决策者关心每个方案相对于基准指标的优劣;从众多候选方案中只选一个最优者.比例尺度变换的理想模式和分配模式2.区间尺度变换使用中的问题ijmiijmiijmiijijddddr,2,1,2,1,2,1minmaxmin•但区间尺度变换dij最小值(对每个j)都变为rij=0.区间尺度变换~对原始权重dij作伸缩与平移变换ijmiijijddr,2,1max•两种变换dij最大值(对每个j)都变为rij=1.对比比例尺度变换的最大化虚拟一个极端的例子说明,某些实际问题适于采用比例尺度变换归一化,用最大化会出现较大谬误,而用区间尺度变换将得到极不合理的结果.74.026.05.05.099.049.001.051.098.0505.05.05.0196.001.01常识：教学0.5万平分,科研0.5万给B.67.033.0与常识一致与常识有别5.05.05.05.0100110019949151区间尺度严重不妥!区间尺度变换使用中的问题得分教学X1(w1=0.5)科研X2(w2=0.5)教师A511教师B4999例.奖金1万元按教学和科研并重原则分配给A,B.理想模式(最大化)分配模式(归一化)A~0.25万元,B~0.75万元把非常接近的教学原始分51和49分别变成1和0为什么？3.方案的排序保持与排序逆转若各准则对目标的权重和原有方案对属性的权重都不变，当有新方案加入或旧方案退出时，原有方案的优劣排序是保持还是会逆转？用理想模式和分配模式可能会得到不同的结果.例.工作选择(训练题15)原始分X1(w1=0.6)X2