在初中数学教育中要重视五种思维品质的培养

70在初中数学教育中要重视五种思维品质的培养广东省珠海市平沙二中杨喜明思维品质是思维能力的内在表现形式，是衡量一个人智能水平高低的重要指标和发展思维能力的突破口。它主要包括思维的广阔性、思维的深刻性、思维的逆向性、思维的批判性、思维的创造性。数学教学的目的除了让学生掌握数学基础知识和基本技能外，更重要的是培养学生在实践中运用数学知识分析问题和解决问题的能力。数学教学大纲也强调培养学生思维能力是数学教学的重要任务，下面就谈谈在初中数学教学中培养学生五种优秀思维品质的几点做法。一、培养思维的广阔性。思维的广阔性指思维活动作用范围的广泛和全面程度，它表现为思路开阔，能全面地分析问题，多方位地思考问题，多角度地研究问题。（1）利用所学的知识，培养思维的广阔性。学生学习的知识是前人思维的结果，但学习知识不应是简单的接收，而是必须把知识消化、吸收，纳入自己已有的知识系统，形成新的认知结构。因此，在数学教学中，要善于结合学生所学的知识，启迪学生发现所学知识和现实生活中的联系，利用经验中的各种信息及其特征，加以加工，找出大脑中已贮存的信息和对经验反复抽象输入的信息的网点，从而激发广阔的思维。例如，在教“点”这个昀原始的概念时，从学生熟悉的地图上用“点”标记“城镇”位置的实际经验出发，使学生认识“点”是表示位置的本质属性，它与城镇的大小无关。学生自然会得出“点”是不考虑“大小”的结论。当我提出：“在什么意义下，地球、太阳、月亮等星体可以看作一个点？”时，由于这个问题把学生对点的认识的经验带进了更加广阔的思维天地，这就激起了学生的思维的浪花，他们思维很活跃，有的说：“当要表示星体位置的时候……”，有的说：“当要考虑星体间相互位置关系的时候……”，有的说：“当要画一个银河系星际图的时候……”，甚至有的说：“当要绘制一个宇宙星图的时候……”。这样通过学生的思考和对所学知识的反复抽象，在学生已有的图形的认知结构中就增加了新认识——“点”是用来标记“位置”的图形，使学生体会到广阔思维的重要性。（2）利用一题多解，培养思维的广阔性。一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法。一题多解则是诸多解题策略的综合运用。教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养思维的广阔性。例已知抛物线y=x2+bx+c的图像与x轴只有一个交点（-1，0），求b、c的71值。[解法一]由于y=x2+bx+c的图像与x轴只有一个交点，可知公共点就是抛物线的顶点。而y=x2+bx+c的顶点坐标为)44,2(2bcb−−044,122=−−=−bcb所以解得b=2,c=1。[解法二]由抛物线的顶点坐标为(-1,0),可设抛物线的解析式为y=(x-m)2+n,其中m=-1，n=0，所以有y=(x+1)2=x2+2x+1,故b=2,c=1。[解法三]因为y=x2+bx+c的图像是由y=x2的图像向左平移1个单位得到的，即为y=(x+1)2+0=x2+2x+1,所以b=2,c=1。[解法四]由于y=x2+bx+c的图像与x轴交点的横坐标x=-1是x2+bx+c=0的根，因此x1=x2=-1,由根与系数关系.可得:b=2，c=1。通过分析题目的已知条件，从已知条件结合本身所学的知识从不同角度去解决同一个问题。激发了学生学习数学的兴趣，从而培养思维的广阔性。（3）利用一题多变，培养思维的广阔性。在数学教学中，若能经常把一道题的条件或问题进行合理改变，不但能激发学生学习兴趣，调动其主观能动性，积极思考，而且能培养学生思维的广阔性。例题：如图1⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC。学法指导：要证AB⊥AC，需证∠BAC=90°；也可证△ABC边BC上的中线等于BC的一半，如何得到这条中线呢？证明：过点A作⊙O1和⊙O2的内公切线交BC于点O。∵OB、OA是⊙O1的切线，∴OB=OA。同理OC=OA，∴OB=OA=OC，∴AB⊥AC。说明：在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一种作辅助线的方法。72改变一：如图2，⊙O1与⊙O2相交于A、D，BC是两圆公切线，B、C为切点。求证：∠BAC+∠BDC=180°。学法指导：若能证明∠ABC+∠ACB=∠BDC，即可得结论，怎样证呢？在解决有关两圆相交问题时，引两圆的公共弦是常见的一种作辅助线的方法。证明：连结AD。∵BC切⊙O1于B，∴∠ABC=∠ADB。同理∠ACB=∠ADC。又∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠BDC=180°。改变二：如图3，⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是两圆的公切线，B、C为切点，延长BC、AO2相交于点P。求证：PA2=PB·PC。学法指导：要证结论，只要证△PAC∽△PBA。或证PA是△ABC外接圆的切线，利用切割线定理可得结论。证明：连结AC、AB，过点A作两圆的公切线交BC于O，由上述原题证法可得点O是Rt△ABC斜边上的中点，所以，OA是△ABC外接圆半径。∵O2A是⊙O2的半径，OA是切线，∴O2A⊥OA，∴PA是△ABC外接圆的切线，∴PA2=PB·PC。（4）利用一个问题多种思路，巧设发散点，培养思维的广阔性。在教学过程中根据学生知识和心理上的要求，组织专题，利用同一个问题多种思路和想法，培养学生广阔的思维品质。例如，平面几何《梯形》一节学完后，如何添加梯形的辅助线是证题和解题的关键，现在以“梯形中辅助线的添法”为发散点，进行专题研究，引导学生归纳总结出梯形中七种辅助线的添法。73BAEDCNM图4１、平移腰法：例１、如图１，梯形ABCD中，AD∥,BCCB∠=∠。求证：DCAB=２、平移对角线法：例２、如图２，梯形ABCD中，AD∥,BCBDAC=。求证：DCAB=３、添高法：例３、如图３，梯形ABCD中，AD∥BC。求证：BCADCDABBDAC⋅++=+22222４、延长两腰法：例４、如图４，梯形ABCD中，AD∥BC，°=∠+∠90CB，M、N分别是AD、BC的中点。求征：()ADBCMN−=21５、作梯形中位线法：例５、如图５，梯形ABCD中，AD∥BC，DCBCAD=+，M是AB的中点。求证：MCDM⊥６、割补法：例６、如图６，梯形ABCD中，AD∥BC，M是CD的中点。求证：ABCDABMSS梯形21=∆７、分割法：例7、如图7，已知四边形ABCD中，AB=CD，DA∠=∠，求证：DCBABC∠=∠这样不仅帮助学生总结归纳了本章节的习题的解题规律、技巧，同时从多角度、多方位地讨论了辅助线的添加法，有助于培养学生思维的广阔性。ＣＢＡＤＥ图１MABCDN图5ABCDME图6ＡＤＢＣＥ图２ACBDE图7ＡＢＣＤＥＦ图３74二、培养思维的深刻性。思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平。它表现在善于抓住事物的规律和本质，深入地思考问题，把具体思维对象的本质属性揭示出来，使学生的思维能力进一步地深化和提高。（1）从对比中培养思维的深刻性。在数学教学中，教师有意地把类型相似，但实质不同的两个知识点放在一起，加以对比分析，可加深学生对知识点的理解，培养学生深刻的思维品质。例如，二次根式的两个重要公式aa=2)(（0≥a）和⎩⎨⎧−≥==)0()0(2aaaaaa形式相似，但实质不同，学生学习时极易混淆。因此，在教学时不能回避矛盾，而要及时点拨，有意把这两个公式放在一起，让学生观察、比较，找出两者的联系与区别。首先，引导学生观察分析两个公式的运算顺序：aa=2)(（0≥a）是先开方，再乘方，而aa=2是先乘方，再开方。由于运算顺序不同，所以两个公式有本质的不同。再让学生观察：第一个公式中a必须是非负数，而第二个公式中a可取任意实数，结果则一定为非负数。且由a本身的性质来决定结果的昀后形式。第一个公式仅当0≥a时成立，而第二个公式当a为任意实数时都成立。分析后，再让学生举例加以验证：222)2(,0)0(,3)3(−==在实数范围内无意义；==−==2)2(,00,442222−，通过及时的点拨，步步深入的分析、释疑，使学生抓住了这两个公式的本质联系和区别，不仅使学生练习中的错误大大减少，而且也体会到深入思维的重要性。（2）从反例中培养思维的深刻性。在数学教学中，要加强学生对一些定理、概念的理解，有时单从正面的引导和讲解，学生往往印象不深。这时候，如果老师有意的引入反例说明，会有事半功倍的效果。例如：在讲授切线的判定定理“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”时，为了强调定理中“经过半径外端”和“垂直于这条半径”两个条件，缺一不可。这时，老师有意举出反例：如图1，直线L经过半径OA的外端点A，但它不是⊙O的切线；又如图2或图3，直线L垂直于半径OA，但它不是⊙O的切线。这样通过反例教学，加深了印象，培养了思维的深刻性。（3）从质疑中培养思维的深刻性。质疑是培养学生深刻思维的一把金钥匙，是激发学生探索知识的兴趣OOOAAALLL图1图2图375和热情、释放每一位学生的潜能和才干的好帮手。例如，在讲授了三角形的定义后，要进入三角形各边之间性质的学习。学生知道了“由三条线段首尾顺次相接所组成的图形是三角形”，“但是不是任意的三条线段首尾相接都能组成三角形呢？”老师提出了这个问题；很多学生认为是能够组成三角形的。这时，老师拿出三条木棒（各长为10cm，5cm，3cm），让它们首尾相接，它们怎么样都不能组成三角形，这样，在学生的头脑中产生质疑：为什么这三条木棒不能接出三角形呢？怎么样的三条线段才能围成三角形呢？三角形的三边之间到底存在什么关系呢？这样的问题在学生心中产生反响，引起深思，这时老师引导学生进行分析探索，利用所学知识进行推理论证，昀后得到“三角形任意两边之和大于第三边；任意两之差小于第三边”的结论。可见，质疑对数学知识的加深加广有着重大的作用，数学教学中充分利用所学，创设情境，提出质疑，能很好地培养学生思维的深刻性。（4）从深挖中培养思维的深刻性。在初中数学教学中，对教材或有关的知识点进行深挖，不但为后继知识做了准备，而且还为本节知识的掌握提供了帮助，加深的印象。例如，在讲授一节课或一部分知识的结束时，可恰当了留一个“尾巴”给学生联想，使学生感到言而未尽，以引起学生探索“未尽”兴趣，为下节课或今后知识的学习埋下伏笔。如在学习完“三角形内角和定理”后，可提出“四边形、五边形、ｎ边形的内角和是多少？”又如学习完“一元二次方程根与系数关系”后，提出“一元三次方程，一元ｎ次方程是否也具有这种性质呢？”这些问题的提出，可激发学生学习的兴趣，使学有余力的学生去探索、去联想，在掌握知识的同时也培养了思维的深刻性。三、培养思维的逆向性。数学是一门逻辑性极强的学科。加强对学生的思维训练是改革数学教学，提高质量的昀根本途径，而逆向思维是思维转换能力的一种重要形式。事实上，正向思维定势经常制约思维空间的拓展，有时若是按照顺向思维方式则是比较困难，而且常常伴随着较大的运算量，有时甚至无法解决，这时不妨改变思维方向，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展，达到柳暗花明的效果。在中学数学课本中的逆运算、否命题、反证法、分析法、充要条件等都涉及思维的逆向性。因此，教师在教学中自觉地、有目的地加强对学生逆向思维的训练，克服正向思维所造成的思维定势，突破旧有思想框架产生新思想，发现新知识、开拓解题思路。对数学问题的理解，除了必要的正向思维之外，还要经常运用逆向思维。在教学中，强化逆