实变与泛函--由叶果洛夫定理和可测函数收敛性定义证明勒贝格定理

由叶果洛夫定理和可测函数收敛性定义证明勒贝格定理学院：统计与数学学院班级：09信息与计算科学摘要：可测函数列的收敛性有很多种,如几乎处处收敛、一致收敛、依测度收敛等.叶果洛夫(Egoroff)定理给出了几乎处处收敛与几乎一致收敛的某种关系,黎茨(Riesz)定理给出了依测度收敛与几乎处处收敛的某种关系,那么几乎处处收敛与依测度收敛还有什么关系？本文就此问题进行证明.关键字：叶果洛夫(Egoroff)定理、勒贝格(Lebesgue)定理、依测度收敛、几乎处处收敛定义1如果存在PE,0P使在EP上nf收敛于f,则称nf几乎处处收敛于f,记为..aenff.定义2(1)如果0,自然数N,当nN时对一切xE,有|()()|nfxfx,则称nf一致收敛于f.(2)如果0,存在可测子集EE使()EE且在E上nf一致收敛于f,则称nf基本一致收敛于f或几乎处处一致收敛于f.定义3如果0,成立lim||0nnEff,则称nf依测度收敛于f,记为nnffff或.定理一(叶果洛夫(Egoroff)定理)设E,nf是E上一列可测函数且..e收敛于一个..e有限的可测函数f,则nf基本一致收敛于f,即0,EE使()EE且在E上一致收敛于f.定理二(叶果洛夫(Egoroff)定理的逆定理)设nf是定义在可测集E上的一列可测函数,且在E上nf基本一致收敛于f,则在E上必有..aenff.定理三(黎茨(Riesz)定理)设nf是定义在可测集E上的一列可测函数,且在E上nff,则存在nf的子序列jnf使在E上..()jaenffj定理四(勒贝格(lebesgue)定理)设E,nf是定义在E上的一列可测函数,且在E上..aenff,则nff.定理中的条件：1E2()nfx是E上一列几乎处处取有限的可测函数3lim()()..nnfxfxae于E,|()|..fxae于E.nff的含义是：对于事先给定的无论怎样小的误差,使|()()|nfxfx那些点x的集合的测度随n无限增大而趋于0,lim()0nnEff可以用N语言描述为0,0,E自然数(,)N当nN时有||nEff.证明：由叶果洛夫(Egoroff)定理0,可测子集EE使()EE且()nfx在EE上一致收敛于()fx由一致收敛性定义可知：对任意0,自然数N当nN时恒有|()()|nfxfx,xE当nN有|()()|nEfxfxEE所以当nN有|()()|()nEfxfxEE所以根据nff的含义再由|()()|()nEfxfxEE可得()()nfxfx即nff注意：1定理E的条件不可少取(0,)E,令()1fx且n=1,2,3…显然()()nfxfx在E上处处成立,但0,1有||,nEffn,||nEff在E上nf不依测度收敛于f.2勒贝格(lebesgue)定理的逆定理不成立取(0,1]E并令()()njfx(n=1,2,3…;j=1,2,3….)把(){}njf中的函数先按n的大小,再按j的大小排成(1)1()fx,(2)1()fx,….()1()nfx…(1)2()fx,(2)2()fx…()2()nfx…设()()njfx是这序列第N(n,j)项,即()()()njNfxfx0有|0|=|0|nNjEfEf0(当N)时即0()NfN但当0(0,1]x时,无论n如何j使01(,]22nnjjx因()0()1njfx而()10()0njfx或()10()0njfx这就是说()0{()}njfx中即含有恒等于1的子列又含有等于0的子列所以它是发散的参考文献：实变函数与泛函分析简明教程高等教育出版社张晓岚编著依测度收敛基本一致收敛几乎处处收敛ELebesgue定理E（Egoroff定理）Egoroff定理的逆定理存在..ae收敛子序列（黎茨定理）E，存在基本一致收敛子序列