姜启源-数学模型第五版-第5章

第五章微分方程模型•描述随时间连续变化物体或过程的动态变化规律.•微分方程~含自变量、未知函数及其导数的方程.•采用机理分析方法或类比法建立微分方程.物理领域~工程技术,科学研究牛顿定律电路原理非物理领域~人口,经济,生态等特定的内在规律例.火箭发射——由燃料燃烧推力发射的火箭加速度、速度、高度的微分方程.例.人口预测——含人口数量及增长率的微分方程.第五章微分方程模型5.1人口增长5.2药物中毒急救5.3捕鱼业的持续收获5.4资金、劳动力与经济增长5.5香烟过滤嘴的作用5.6火箭发射升空5.7食饵与捕食者模型5.8赛跑的速度5.9万有引力定律的发现5.10传染病模型和SARS的传播世界人口增长年16251804192719601974198719992011人口(亿)510203040506070年1949195319651982199020002010人口(亿)5.425.887.2510.1711.4312.6713.40人口翻番时间123年39年中国人口增长•老龄化提速,性别比失调等凸显,开始调整人口政策.•20世纪的一段时间内人口增长速度过快.•年净增人口由最多的2000多万降到2011年的600多万.47年5.1人口增长预测1953196519825.887.2510.173.模型检验和增长预测年17901800181018201830184018501860人口(百万)3.95.37.29.612.917.123.231.4增长率/10年0.29490.31130.29860.29690.29070.30120.30820.2452年18701880189019001910192019301940人口(百万)38.650.262.976.092.0105.7122.8131.7增长率/10年0.24350.24200.20510.19140.16140.14570.10590.1059年1950196019701980199020002010人口(百万)150.7179.3203.2226.5248.7281.4308.7增长率/10年0.15790.14640.11610.10040.11040.1349•建立数学模型描述人口发展规律，是制定积极、稳妥人口政策的前提.1.两个基本的人口模型2.用美国人口数据估计参数指数增长模型今年人口x0,年增长率r1.一个常用的人口预测公式基本前提~增长率r在k年内保持不变.•根据人口统计数据估计增长率——由x0,xk估计r.•已知增长率预测未来人口.kkrxx)1(0k年后人口例.从1960年到1999年(39年时间)世界人口翻番.该期间的年平均增长率约为r=(log2)/39=1.8%为什么？•单位时间人口增长率为常数r.0()(e)rtxtxtrx)1(0•t→∞,x(t)→∞,按指数规律无限增长.•与常用公式一致?马尔萨斯1798年提出?2.人口指数增长模型的建立•t时刻人口数量为连续、可微函数x(t).单位时间内x(t)的增量为rx(t)•初始时刻(t=0)的人口为x0假设模型rtextx0)(0d,(0)dxrxxxt解释3.指数增长模型的参数估计(数据拟合)rtextx0)(方法一直接用人口数据和线性最小二乘法.1790年(t=0)至2000年美国人口数据MATLAB编程计算最小二乘法r=0.2743/10年，x0=4.18843.指数增长模型的参数估计(数据拟合)方法二对人口数据作数值微分估计增长率.,1,,2,1,2)(11nktxxtxkkktxxxtxtxxxtxnnnn234)(243)(122100，设x(t)在t0,t1,…,tn(等间距△t)的函数值为x0,x1,…,xn数值微分中点公式x0=3.9(原始数据)≈rk)(/)(kktxtxx(t)在各点的导数近似值r=0.2052/10年4.改进的指数增长模型05101520250.050.10.150.20.250.30.350.4tr•修改人口增长率为常数的假设.010)0(,)()(xxxtrrxtrdtdx10年增长率数据x0=3.9(原始数据)线性最小二乘法美国人口增长率/10年1800年r≈0.32000年r≈0.1)2/(0210)(trtrextxr0=0.3252，r1=0.0114r(t)=r0r1t年实际人口（百万）指数增长模型（估计方法一）指数增长模型（估计方法二）改进的指数增长模型17903.96.03.93.918005.37.44.85.418107.29.15.97.318209.611.17.29.8183012.913.68.913.1……………1960179.3187.6127.6188.31970203.2229.6156.7213.41980226.5281.0192.4239.11990248.7343.8236.2264.82000281.4420.8290.0290.0误差平方和347422204811335.美国人口用指数增长模型计算结果的比较1960年以后3个结果明显不同0510152025050100150200250300tx0510152025050100150200250300350400450tx0510152025050100150200250300tx5.美国人口用指数增长模型计算结果的比较改进的指数模型指数模型(方法二)指数模型(方法一)200多年时间内假设增长率为常数违背实际情况.用指数模型计算的美国人口与实际数据相差很大.•与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合.•适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代.•可用于短期而不能用于较长期的人口预测.•不符合19世纪后多数地区人口增长规律.6.指数增长模型的应用及局限性•改进的指数模型计算结果有所改善,但它未反映增长率下降的机理,函数形式也不易确定,不便于应用.需分析人口增长率下降的机理,修改假设建立新模型.logistic模型1.模型建立•人口增长到一定数量后增长率下降的原因——资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口增加而变大.•简单、便于应用的线性函数r是x的减函数bxaxr)(系数a,b？内禀(固有)增长率r~理论上x=0时的增长率.人口容量xm~资源和环境对人口的最大容量.r(0)=rr(xm)=01.模型建立bxaxr)(r(0)=r,r(xm)=0a=rb=r/xm)/1()(mxxrxr0)0(),1(xxxxrxdtdxm(1-x/xm)~资源和环境阻滞人口增长rx~人口自身增长dx/dtxOxmxm/2tx0x增加先快后慢xmx0xm/2S形曲线渐近线拐点1.模型建立0)0(),1(xxxxrxdtdxmtx0xmx0xm/2logistic曲线xtxxxemmrt()()110~可分离变量方程logistic模型求解作图t1/22.参数估计方法一数值微分计算增长率,线性最小二乘估计参数.0501001502002503000.050.10.150.20.250.30.350.4xr最小二乘法r=0.2805/10年)(/)(kktxtx模型x0=3.9(原始数据)xm=352.0548数值微分≈方法二直接用数据和非线性最小二乘估计参数.2.参数估计xtxxxemmrt()()110模型年实际人口（百万）logistic模型（方法一）logistic模型（方法二）17903.93.97.718005.35.19.518107.26.811.7…………1980226.5245.8228.31990248.7265.4252.02000281.4282.4275.1误差平方和2810.4458.2计算结果比较r=0.2155/10年,x0=7.6962,xm=443.99312.参数估计0510152025050100150200250300tx0510152025050100150200250300txlogistic模型(方法二)logistic模型(方法一)指数模型（方法一）指数模型（方法二）改进的指数模型logistic模型（方法一）logistic模型（方法二）347422204811332810458指数模型与logistic模型计算结果比较(误差平方和)对1790年至2000年美国人口数据的拟合，logistic模型比指数增长模型有很大改善.非线性最小二乘结果最好！模型检验和人口预测•上面表、图给出的结果是利用1790年至2000年美国人口数据估计的参数代入模型计算得到的.•这些结果与同期实际数据比较虽能反映模型与数据的拟合程度,但不是真正意义上的模型检验.•在估计指数模型和logistic模型参数时未用2010年的美国人口，留下这个实际数据用于模型检验.模型检验和人口预测实际人口（百万）指数模型(方法一)指数模型(方法二)改进的指数模型logistic模型（方法一）logistic模型（方法二）2010年308.7515.0356.0314.0296.8297.0误差66.8%15.3%1.7%-3.9%-3.8%2020年？327.8326.8•2010年实际人口加入重估参数预测2020年人口.•用1790年至2000年美国人口估计参数代入模型,计算2010年人口与实际值比较作为模型检验.预测准确性需等2020年美国人口调查结果公布.拭目以待模型检验的误差在5%以内，可以接受.logistic模型的广泛应用logistic模型~欧洲生物数学家Verhulst19世纪提出，中译名为逻辑斯谛.•经济、社会领域中的应用——耐用消费品销售量、消息传播范围的变化规律.•生态、医疗领域中的应用——鱼塘中鱼群数量、森林中树木数量、传染病传播人数的变化规律.•模型假设是建模的关键之一.“增长率随人口增加而线性减少”是logistic模型的合理、简化假设.•参数估计是建模的重要步骤,最小二乘法是参数估计的基本方法.•模型检验对建模是不可缺少的.用作检验的数据不应用于建模过程的参数估计,正像裁判员不能做运动员一样.小结与评注场景两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.按照药品说明氨茶碱的每次用量成人是100~200mg，儿童是2~3mg/kg(按30~40kg计,约100mg).过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高，100μg/ml浓度会出现严重中毒,200μg/ml浓度可致命.医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100~200μg/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.5.2药物中毒急救调查与分析转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药物体外认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型”.药量x(t)药量y(t)血液系统对药物的吸收率(胃肠道到血液系统的转移率)和排除率可以由半衰期确定.半衰期可以从药品说明书上查到.通常，血液总量约为人体体重的7%~8%，体重50~60kg的成年人有4000ml左右的血液.目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为2000ml.调查与分析血药浓度=药量/血液总量•口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍.临床施救的办法•体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证.模型假设1.胃肠道中药物向血液的转移率与x(t)成正比,比例系数λ(0)，总剂量1100mg药物在t=0瞬间进入胃肠道.2.血液系统中药物的排除率与y(t)成正比，比例系数μ(0)，t=0时血液中无药物.3.氨茶碱被吸收的半衰期为5h，排除的半衰期为6h.4.孩子的血液总量为2000ml.胃肠道中药量x(t),血液系统中药量y(t)，时间t以孩子误服药的时刻为起点（t=0）.模型