姜启源-数学模型第五版-第1章

•用数学方法解决任何一个实际问题，都必须在实际与数学之间架设一座桥梁.•数学——各门科学的基础；社会进步的工具.•解决过程——实际问题转化为数学问题；数学问题的求解；数学解答回归实际问题.•这个全过程称为数学建模——为实际问题建立数学模型.第一章建立数学模型1.1从现实对象到数学模型1.2数学建模的重要意义1.3建模示例之一包饺子中的数学1.4建模示例之二路障间距的设计1.5建模示例之三椅子能在不平的地面上放稳吗1.6数学建模的基本方法和步骤1.7数学模型的特点和分类1.8怎样学习数学建模——学习课程和参加竞赛第一章建立数学模型玩具、照片、飞机、火箭模型…~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机…~物理模型地图、电路图、分子结构图…~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.1.1从现实对象到数学模型我们常见的模型你碰到过的数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速为20km/h.甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?x=20y=5求解航行问题建立数学模型的基本步骤•作出简化假设（船速、水速为常数）•用符号表示有关量（x,y分别表示船速和水速）•用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）•求解得到数学解答（x=20,y=5）•回答原问题（船速为20km/h）数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模欧几里德《几何原本》光反射定律阿基米德浮力定律杠杆原理伽利略牛顿落体定律惯性原理万有引力定律微积分数学建模历史悠久直到20世纪后半叶数学建模才逐渐得到普遍重视和广泛应用，并且进入大学的课堂.1.2数学建模的重要意义•计算机技术的出现和迅速发展,为数学建模的应用提供了强有力的工具.•数学迅速进入一些诸如经济、生态、人口、地质等领域，为数学建模开拓了许多新的处女地.科技进步与社会发展的推动•高新技术中数学建模与科学计算是必不可少的手段——数学科学是关键的、普遍的、可应用的技术.数学建模引入教学顺应时代发展的潮流数学建模的具体应用•分析与设计•预报与决策•控制与优化•规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼为教育改革注入强大活力•数学教育本质上是一种素质教育.•数学教育应培养两种能力：算数学(计算、推导、证明…)和用数学(分析、解决实际问题).传统的数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者.•让学生参加将数学应用于实际的尝试,参与发现和创造的过程.数学建模引入教学符合教育改革的需要传统的数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者.通常，1kg馅,1kg面,包100个饺子.问题分析直观认识——“大饺子包的馅多”!但是：“用的面皮也多”!需要比较：饺子从小变大时馅和面增加的数量关系.今天，馅比1kg多,1kg面不变,要把馅包完.应多包几个(每个小些),还是少包几个(每个大些)？1.3建模示例之一包饺子中的数学体积V、面积S一个大饺子V和nv哪个大?SVV比nv大多少?定性分析定量结果分析建立馅、皮与数学概念的联系：馅——体积，皮——表面积体积v、面积sn个小饺子sss…vvv1.皮的厚度一样2.饺子的形状一样21RkS3221,rkvrks)2(2/3kSVvnV2/332RkV)1(nsS两个k1(及k2)一样R~大皮半径r~小皮半径)3(2/3ksv(1),(2),(3)假设建模消去S,s,k体积与面积的联系——半径（特征半径）解释V比nv大(n1)——大饺子包得馅多.定性分析定量结果若100个饺子包1kg馅,50个饺子能包多少馅？应用n1=100,n2=5050个饺子能包1.4kg馅.n1v1=1(kg),n2v2=?4.12/21nnn2v2=倍所包的饺子馅是原来的倍，原来一定，单个饺子面积为总面积22S讨论饺子数量减少一倍，真的就能多包40%的馅吗？饺子越大，面皮应该越厚.若100个饺子包1kg馅,50个饺子能包1.4kg馅.可以对“皮的厚度随着半径变大而增加”的数量关系作出合理、简化的假设，重新建模.“皮的厚度一样”的假设值得探讨！•用数学语言(体积和表面积)表示现实对象(馅和皮).•作出简化、合理的假设(厚度一样，形状一样).•利用问题蕴含的内在规律(体积和表面积与半径间的几何关系).包饺子建模过程的基本、关键步骤日常生活中有哪些可用这个模型解释的现象？校园、居民小区道路需要限制车速——设置路障限制车速≤40km/h,相距多远设置一个路障？汽车过路障时速度接近零,过路障后加速.车速达到40km/h时让司机看到下一路障而减速,至路障处车速又接近零.如此循环以达到限速的目的.背景问题分析1.4建模示例之二路障间距的设计加速度、减速度：方法一查阅资料方法二进行测试速度（km/h）010203040时间（s）01.63.04.25.0加速行驶的测试数据减速行驶的测试数据速度（km/h）403020100时间（s）02.24.05.56.8相邻路障之间汽车作等加速运动和等减速运动.假设路障间距的设计加速行驶：距离s1，时间t1,加速度a1减速行驶：距离s2，时间t2,减速度a2限速vmax2222211121,21tastas22max11max,tavtav21sss相邻路障间行驶总距离给定vmax，由测试数据估计a1，a2，)11(2212maxaav建模s=路障间距路障间距的设计t=cv+d最小二乘法设计路障间距67m大致线性关系)11(2212maxaavs计算01020304001234567减速行驶vt0102030400123456加速行驶vt测试数据作图a1=1/c1，a2=-1/c2d1,d2≈01m/s=3.6km/hvmax=11.1(m/s)c1=0.4536，c2=-0.6084，s=65.5556(m)≈66.5估算63.0406.372c(s2/m)45.0406.351c(s2/m)407540•作出简化、合理的假设(等加速和等减速行驶).•利用问题蕴含的内在规律(时间、距离、速度、加速度之间的物理关系).路障设计中还有可用数学建模研究的问题吗？路障间距建模过程的基本、关键步骤•根据测试数据估计模型的参数(加速度和减速度).问题不平的地面上的椅子，通常三只脚着地——放不稳！讨论椅子能放稳的条件.挪动几下，使四只脚着地——椅子放稳！1.5建模示例之三椅子能在不平的地面上放稳吗模型假设四腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形.地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面.地面相对平坦,椅子在任意位置至少三只脚着地.椅子能在不平的地面上放稳吗模型建立椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性.xBADCOD´C´B´A´用表示椅子位置.四只脚着地距离是的函数.四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转对称性f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0已知：f(),g()连续,对任意,f()•g()=0,且g(0)=f(/2)=0,f(0)0,g(/2)0.地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地g(0)=0，f(0)0，f(/2)=0,g(/2)0.模型建立椅子旋转900,对角线AC和BD互换证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.一种简单的证明方法2）由f,g连续可得h连续.1）令h()=f()–g(),则h(0)0，h(/2)0.4）因为f(0)•g(0)=0,所以f(0)=g(0)=0.模型求解3）据连续函数的基本性质,必存在0(00/2),使h(0)=0,即f(0)=g(0).结论：在模型假设条件下，将椅子绕中心旋转，一定能找到四只脚着地的稳定点.机理分析测试分析二者结合机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数.对量测数据的统计分析与数据拟合最好的模型对客观事物特性的认识内部机理的数量规律白箱黑箱灰箱机理分析主要通过案例研究学习.建模主要指机理分析.数学建模的基本方法1.6数学建模的基本方法和步骤数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的问题模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法、软件和计算机技术.如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析.模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性.模型应用数学建模的一般步骤数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答解释验证表述求解实践数学世界理论实践两次“翻译”现实世界将实际问题“翻译”成数学问题.将数学解答“翻译”回实际对象.1.7数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性数学模型的特点数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态、…数学方法初等数学、微分方程、规划、统计、…表现特性描述、优化、预报、决策、…建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续技术大致有章可循.数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术.艺术无法归纳成普遍适用的准则.•着重培养数学建模的意识和能力1.8怎样学习数学建模——学习课程和参加竞赛数学建模的意识对于日常生活和工作中那些需要或者可以用数学知识分析、解决的实际问题，能够敏锐地发现并从建模的角度去积极地思考、研究.想象力洞察力判断力创新意识数学建模的能力比较广博的数学知识深入实际调查研究的决心和能力•如何学习数学建模学别人的模型（学习、分析、改进、推广）做自己的模型（实际题目，参加竞赛）对于案例——椅子能在不平的地面上放稳吗，在学懂的基础上可以作哪些研究？学别人的模型1.模型假设中哪些条件是本质的,哪些是非本质的?四脚连线呈长方形可以吗?椅脚连线呈正方形地面高度连续椅子至少三只脚着地是是非2.建模的关键是什么？变量表示椅子的位置.函数f(),g()表示椅脚与地面的距离.椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样变化？3.建模过程中有无不严谨之处？•亲自动手，踏踏实实地做几个实际题目——不妨从包饺子这样的简单问题开始.做自己的模型•提倡在实际生活中发现、提出问题，建立模型.•数学建模竞赛为提高用建模方法分析、解决实际问题的能力，搭建了广阔的平台.•1992年由中国工业与应用数学学会（CSIAM）组织举办首次竞赛.•1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办（每年9月).全国大学生数学建模竞赛网址：•2017年全国1400多所院校、36000多队参赛.•我国高校规模最大的课外科技活动.内容赛题：工程技术、管理科学中简化的实际问题.答卷：用数学建模解决问题全过程的论文.形式•3名大学生组队、3天内完成的通讯比赛.•可使用任何死材料，不可与队外他人讨论.宗旨创新意识团队精神重在参与公平竞争标准假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性.全国大学生数学建模竞赛参加数学建模竞赛的三个阶段赛前准备学习有关知识、方法和软件；题目研讨（及模拟）；组队磨合.三天参赛吃透题意，发挥正常，注意写作，同舟共济.赛后继续对有兴趣赛题的深入研讨；实际问题的数学建模.竞赛培