高考数学--一轮复习-第六节-简单的三角恒等变换课件-理-新人教A版

1.化简：sin2α－2cos2αsinα－π4＝________.解析：原式＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα.答案：22cosα第六节简单的三角恒等变换2．化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x.解：原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x＝121－sin22x2sinπ4－xcosπ4－x＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.3．化简：1tanα2－tanα2·(1＋tanα·tanα2)．解：1tanα2－tanα2·(1＋tanα·tanα2)＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.[类题通法]三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.归纳起来常见的命题角度有：1给值求值；2给角求值；3给值求角.角度一给值求值1．(2013·广东高考)已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.解：(1)因为f(x)＝2cosx－π12，所以fπ3＝2cosπ3－π12＝2cosπ4＝2×22＝1.(1)求fπ3的值；(2)若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求fθ－π6.(2)因为θ∈3π2，2π，cosθ＝35，所以sinθ＝－1－cos2θ＝－1－352＝－45.所以fθ－π6＝2cosθ－π6－π12＝2cosθ－π4＝2×22cosθ＋22sinθ＝cosθ＋sinθ＝35－45＝－15.角度二给角求值2．(1)(2013·重庆高考)4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1解析：4cos50°－tan40°＝4cos50°－sin40°cos40°＝4sin40°·cos40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2cos10°－sin40°cos40°＝2cos10°－sin30°＋10°cos40°＝32cos10°－32sin10°cos40°＝3cos30°cos10°－sin30°sin10°cos40°＝3cos40°cos40°＝3.答案：C(2)化简：sin50°(1＋3tan10°)＝________.解析：sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°1＋3·sin10°cos10°＝sin50°×cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°×212cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°·cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.答案：1角度三给值求角3．已知α，β为锐角，sinα＝35，cosα＋β＝－45，求2α＋β.解：∵sinα＝35，α∈0，π2，∴cosα＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝35×－45＋45×35＝0.又2α＋β∈0，3π2.∴2α＋β＝π.4．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．解：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2.又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.[类题通法]三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．[典例](2013·湖南高考)已知函数f(x)＝sinx－π6＋cosx－π3，g(x)＝2sin2x2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝335，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．思考1：怎样将f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式？提示：可利用两角差的正、余弦公式展开化简.[解]f(x)＝sin(x＋π6)＋cos(x－π3)＝32sinx－12cosx＋12cosx＋32sinx＝3sinx，g(x)＝2sin2x2＝1－cosx.(1)由f(α)＝335得sinα＝35.又α是第一象限角，所以cosα0.从而g(α)＝1－cosα＝1－1－sin2α＝1－45＝15.思考2：怎样求g(α)的值？提示：可由f(α)求出sinα的值，再利用平方关系求g(α)的值.思考3：怎样求解不等式sinx≥1－cosx？提示：将-cosx移到等式左边，再将左边利用“辅助角”公式化为Asin(ωx+φ)的形式，进而求解，同时要注意角的范围.3(2)f(x)≥g(x)等价于3sinx≥1－cosx，即3sinx＋cosx≥1，于是sin(x＋π6)≥12，从而2kπ＋π6≤x＋π6≤2kπ＋5π6，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z}.[类题通法]三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．[针对训练](2014·安徽示范高中联考)设函数f(x)＝sin2x＋π3＋33sin2x－33cos2x.(1)求f(x)的最小正周期及其图像的对称轴方程；(2)将函数f(x)的图像向右平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图像，求g(x)在区间－π6，π3上的值域．解：(1)f(x)＝12sin2x＋32cos2x－33cos2x＝12sin2x＋36cos2x＝33sin2x＋π6，所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.令2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，得对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)．(2)将函数f(x)的图像向右平移π3个单位长度，得到函数g(x)＝33sin2x－π3＋π6＝－33cos2x的图像．即g(x)＝－33cos2x.当x∈－π6，π3时，2x∈－π3，2π3，得cos2x∈－12，1，所以－33cos2x∈－33，36，即函数g(x)在区间－π6，π3上的值域是－33，36.[课堂练通考点]1.化简：sin180°＋2α1＋cos2α·cos2αcos90°＋α等于()A．－sinαB．－cosαC．sinαD．cosα解析：原式＝－sin2α·cos2α1＋cos2α·－sinα＝2sinα·cosα·cos2α2cos2α·sinα＝cosα.答案：D2．若α∈π2，π，且3cos2α＝sinπ4－α，则sin2α的值为()A.118B．－118C.1718D．－1718解析：cos2α＝sinπ2－2α＝sin2π4－α＝2sinπ4－αcosπ4－α代入原式，得6sinπ4－αcosπ4－α＝sinπ4－α，∵α∈π2，π，∴cosπ4－α＝16，∴sin2α＝cosπ2－2α＝2cos2π4－α－1＝－1718.答案：D3.创新题设函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导数，若f(x)＝2f′(x)，则sin2x－sin2xcos2x＝________.解析：f′(x)＝cosx－sinx，由f(x)＝2f′(x)得sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，∴cosx＝3sinx，于是sin2x－sin2xcos2x＝sin2x－2sinxcosxcos2x＝sin2x－6sin2x9sin2x＝－59.答案：－594．若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________.解析：由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，可得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，即tan(α＋β)＝3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π35．(2013·揭阳二模)已知函数f(x)＝1－2sin2x－π4cosx.解：(1)函数f(x)要有意义，需满足cosx≠0，解得x≠π2＋kπ，k∈Z，即f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ，k∈Z.(2)∵f(x)＝1－2sin2x－π4cosx＝1－222sin2x－22cos2xcosx(1)求函数f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tanα＝－43，求f(α)的值．＝1＋cos2x－sin2xcosx＝2cos2x－2sinxcosxcosx＝2(cosx－sinx)，由tanα＝－43得sinα＝－43cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝925.∵α是第四象限的角，∴cosα＝35，sinα＝－45，∴f(α)＝2(cosα－sinα)＝145.