直线方程的两点式和一般式

复习引入过点P(x0，y0)，斜率为k的直线方程是：y-y0=k(x-x0)(点斜式）1212xxyyk)(21xx在直线上任取两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线斜率k是：P1(x1,y1)0●●P2(x2,y2)xy提出问题：如图所示，如果已知直线L上两点A(x1,y1),B(x2,y2),（其中x1≠x2)（1）求直线L的斜率k.1212xxyyk（2）求直线L的方程.A(x1,y1)0●●B(x2,y2)xy)(112121xxxxyyyy可化为（由点斜式方程得）：y-y0=k(x-x0))(112121xxxxyyyy121121xxxxyyyy这个方程称为直线方程的两点式这两点的坐标分别是(x1,y1)和(x2,y2)平面几何:两点确定一条直线;解释几何:两点的坐标确定一条直线方程.21xx例题分析解：∵直线L经过点P（a,0），Q（0,b）∴由直线方程两点式得例5求经过两点P（a,0），Q（0,b）的直线方程（其中ab≠0）.121121xxxxyyyyaaxby000整理得1byax通常称它为直线方程的截距式.其中a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距.分析:已知直线上两点的坐标,可以运用直线方程两点式求解.P（a,0）xy0Q（0,b）●●x轴上的截距ay轴上的截距b1byax由截距式可得到过P点和Q点的直线方程引入重点前面学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：问：说出过点P（2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：由点斜式得，直线方程是y-1=2(x-2)，整理得：2x-y-3=0属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．再看一个问题：问：求出过点P（2，-1），Q（3，1），的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？整理得：2x-y-5=0也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．启发：你想到了什么？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．答：由直线方程两点式得：232)1(1)1(xy【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”在平面直角坐标系中，直线可以分为两类.直线与x轴不垂直（k存在）直线与x轴垂直（k不存在）由点斜式,得：y-y0=k(x-x0)可化为：kx-y-kx0+y0=0由图像,得：x=x0可化为：x+0●y-x0=0对于过点Ｐ(x0,y0)的直线方程两者都是关于x,y的二元一次方程．任意一条直线可以用关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)来表示．xy0Ｐ(x0,y0)●xy0Ｐ(x0,y0)●【问题2】“任意形如Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？”Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）Ｂ≠0时，BCxBAy表示一条不垂直x轴的直线Ｂ＝0时,则A≠0,ACx表示一条垂直x轴的直线关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式.就是直线的斜率BA例题分析例6如图所示，已知直线经过点A（4,-3），斜率为，求直线的点斜式方程，并化为一般式方程.32011A（4,-3）●xy解：由已知点斜式方程为)4(323xy化为一般式方程为2x+3y+1=0.分析：由点斜式y-y0=k(x-x0)得到直线方程,再化为一般式Ax+By+C=0的形式.例7已知三角形三个顶点分别是A（-3，0），B（2，-2），C（0，1）.求这个三角形三边各自所在直线的方程.解：xy01A（-3，0）B（2，-2）C（0，1）如图∵直线AB过A（-3，0），B（2，-2）两点，∴由两点式得121121xxxxyyyy)3(2)3(020xy整理得2x+5y+6=0.这就是直线AB的方程;分析：已知两点的坐标，可以直接运用两点式求直线的方程.∵直线AC过A（-3，0），C（0，1）两点，∴由两点式得)3(0)3(010xy整理得x-3y+3=0.这就是直线AC的方程;又∵直线BC过B（2，-2），C（0，1）两点，∴由两点式得202)2(1)2(xy整理得3x+2y-2=0.这就是直线BC的方程.例8已知直线L的方程为求直线L的倾斜角.043yx解：直线Ｌ的斜率3331BAk设直线Ｌ的倾斜角为，则33tan（00≤＜1800）由于k0，所以00900，故直线Ｌ的倾斜角＝300分析：由直线方程一般式（Ax+By+C=0）可知直线斜率k=,再由斜率求出对应的倾斜角.BA练习2、已知Ａ(２，２)，Ｂ(２，５)在直线Ｌ上，求Ｌ的方程.1、求经过点（－４，５），且斜率为－２的直线方程，并化为一般式.3、求过点（，－５），倾斜角等于直线倾斜角的一半的直线方程，并化为一般式.313xy2x+y+3=0x=2（这里不能用两点式，可用图像法求直线方程.）0633yx小结１、直线方程的两点式：121121xxxxyyyy２、直线方程的一般式：关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）表示的是一条直线作业：Ｐ73练习２第1、２、４、５、７、９题21xx