二次函数综合应用---含答案

1/8二次函数应用（能力提高）一、选择题：1.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（C）（A）8（B）14（C）8或14（D）-8或-142.已知抛物线y=ax2+bx,当a0,b0时,它的图象经过(B)（A）一、二、三象限（B）一、二、四象限（C）一、三、四象限（D）一、二、三、四象限3.当a0,b0,c0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是（A）（C）（D）第7题4.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（A）（A）ac+1=b（B）ab+1=c（C）bc+1=a（D）以上都不是5.若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是(C)(A)0S2(B)S1(C)1S2(D)-1S16.将抛物线y=-2x2-1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（A）（A）23个单位(B)1个单位(C)21个单位(D)2个单位7.如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4,2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx2-(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，则m的值为（D）（A）0（B）21（C）－1（D）0或21或－18.（2015浙江）设二次函数的图象与一次函数的图象交于点，若函数的图象与轴仅有一个交点，则（B）（A）（B）（C）（D）二、填空题：1.已知二次函数y＝－4x2－2mx＋m2与反比例函数y＝xm42的图像在第二象限内的一个交点的横坐标是－2，则m的值是-72.已知抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在x轴上截得的线段长为6，则该抛物线的解析式为_y=−(x+1)(x−5)___11212())0(()yaxxxxaxx，20ydxed1(0)x，21yyyx12 ()axxd21()axxd212()axxd212axxd2/8xyOAB3.已知二次函数y＝ax2（a≥1）的图像上两点A、B的横坐标分别是－1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为4√2+2√54.老师给出一个函数,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x＜2时，y随x的增大而减小。丁：当x＜2时，y＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数____2)2(xy不唯一_5.已知点P(a，m）和Q(b，m）是抛物线y=2x2+4x－3上的两个不同点，则a+b=__-2_____6.已知二次函数cbxaxy2的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c0，④2a－b+l＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__①②③④____7.如图，已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx＋m的图象相交于A（－2，4）、B（8，2）两点，则能使关于x的不等式ax2＋(b－k)x＋c－m＞0成立的x的取值范围是___x＜－2或x＞8__8.如图所示，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点，从P向AB作垂线PQ，Q为垂足．延长QP与AC的延长线交于R，设BP=x（0≤x≤1），△BPQ与△CPR的面积之和为y，把y表示为x的函数是43238332xxy9.（2015浙江）如图，已知抛物线C1：和C2：都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M、N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是_。第7题第8题第9题三、解答题：1.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这个商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。（1）问：为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时进货多少个？（2）当定价为多少元时，可获得最大利润？（（1）60元，400个或80元200个（2）70）2111yaxbxc2222yaxbxc3/82.已知抛物线4)334(2xaaxy与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．（〈ⅰ〉当222BCACAB时，41a时，△ABC为直角三角形〈ⅱ〉当222BCABAC时，∠ABC＝90°）3.已知直线02bbxy与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为cxbxy102.（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线bxy2上，试确定这条抛物线的解析式；（（1）102xy或642xxy）（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线bxy2的解析式.（22xy）4/84.如图，抛物线y=ax2+bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（y=-x2+3x+4）（2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（D´（0,1））5.如图，已知抛物线234yxbxc与坐标轴交于A,B,C三点，点A的横坐标为-1，过点C(0,3)的直线334yxt与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0t1．（1）确定b,c的值：（94b3c）（2）写出点B,Q,P的坐标（其中Q,P用含t的式子表示）：（(40)B，(40)Qt，(443)Ptt，）（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．(①当PQPB时13t②当PBQB49t③当PQQB时，3257t)yCAOQHBPxyxOABC5/86.已知P(m，a）是抛物线y=ax2上的点，且点P在第一象限.（1）求m的值（m=1）（2）直线y=kx+b过点P，交x轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点M.①当b=2a时，∠OPA=90°是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，举出一个反例说明；（成立）②当b=4时，记△MOA的面积为S，求s1的最大值（当a=2时，max118S）7.如图抛物线y=ax2-5x+4a与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标．（a=1P(52,−94）)(2)该抛物线与y轴的交点为D，则四边形ABCD为等腰梯形；(3)将此抛物线沿x轴向左平移3个单位，再向上平移2个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．（y=x2+x）6/88.如图，抛物线y=ax2-3x+c交x轴正方向于A，B两点，交y轴正方向于C点，过A，B，C三点做⊙O´，若⊙O´与y轴相切.（1）求a，c满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tanα；（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙O´的位置关系并证明.（1.ac=1；2.√52；3.相切）9.如果抛物线y=-x2+2（m-1）x+m+1与x轴都交于A，B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b.（1）求m的取值范围；（m-1.）（2）若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；（m=2，32xxy提示：韦达定理）（3）设（2）中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.（存在（1，4），)4,221(),4,221(）7/810.如图，已知抛物线y＝－x2+bx+c与直线l相交于点A(－1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N，抛物线的顶点为D.（1）求抛物线及直线l的函数关系式；（y＝－x2+2x+3；y＝x+1）（2）设点M(3，m)，求使MN+MD的值最小时m的值；（185）（3）若抛物线的对称轴与直线l相交于点B，E为直线l上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由.（（0，1）或（1172，3172）或（1172，3172））11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M.（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.8/821.解解：（1）A(1,0)（2）m=1(或解析式)当0t2时，S=8－4t；当2t4时，S=4t－822.解：（1）当x=0时，y=2；当y=0时，由2x+2=0得x=－1∴A（－1，0）B（0，2）（答对一个坐标得2分）（2）由旋转可知：OC=OA=1，OD=OB=2∴C（0，1），D（2，0）设抛物线l的解析式是cbxaxy2)0(a依题意得解得∴抛物线l的解析式是121212xxy26.（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)(x﹣5)，把点A（0，4）代入上式得：a＝45，∴y＝45(x﹣1)(x﹣5)＝45x2﹣245x+4＝45(x﹣3)2﹣165，∴抛物线的对称轴是：x＝3；（2）P点坐标为（3，85）．理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x＝3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y＝kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得640kbkb，解得4545kb，∴y＝45x﹣45，∵点P的横坐标为3，∴y＝45×3﹣45＝85，∴P（3，85）．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，45t2﹣245t+4）（0＜t＜5），如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，∵A（0，4）和点C（5，0），∴直线AC的解析式为：y＝﹣45x+4，把x＝t代入得：y＝－45t+4，则G（t，﹣45t+4），此时：NG＝﹣45t+4﹣(45t2﹣245t+4)＝﹣45t2+4t，∵AD+CF＝CO＝5，∴S△ACN＝S△ANG+S△CGN＝12AM•NG+12NG•CF＝12NGOC＝12×(﹣45t2+4t）×5＝﹣2t2+10t＝﹣2(t﹣52)2+252，∴当t＝52时，△CAN面积的最大值为252，由t＝52，得：y＝45t2﹣245t+4＝﹣3，∴N（52，﹣3）．yCBDOAxGFEH