函数的极值与导数()

3.3.2函数的极值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0函数的导数与单调性:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内f'(x)0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f'(x)0那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.一、知识回顾:如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf利用导数函数y=f(x)的单调性基本的步骤①求函数的定义域;②求函数的导数f’(x);③解不等式f’(x)0得f(x)的单调递增区间;解不等式f’(x)0得f(x)的单调递减区间.关注用导数本质及其几何意义解决问题问题：能作出函数的图象吗?32267yxx26126(2)yxxxx求导并确定单调区间。确定图象的关键点：（0，7），（2，-1）上述作图中，图象的关键点十分重要，这些关键点与函数的导数有何联系？我们将进行研究x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)y’+0-0+y↗7↘-1↗函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。右图为函数y=2x3－6x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论:x2y0二、新课——函数的极值:设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有点的函数值都大，即f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值。记作:y极大值=f(x0)一、函数极值的定义(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有点的函数值都小，即f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值。记作:y极小值=f(x0)极大值与极小值统称为极值，x0叫做函数的极值点。暂停oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))33R(x,f(x))44S(x,f(x))（1）极值是是函数的局部性质;（2）同一函数极大值可能比极小值还小.（3）极值点是自变量的值，极值指的是函数值;（4）区间的端点不能成为极值点.二、判断f(x0)是极大值、极小值的方法：oax0bxyoax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)xx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)'()0fx'()0fx'()0fx'()0fx'()0fx'()0fx增增减减极大值极小值导函数在极值点的导数为0f(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点f(x0)=0是x0是函数f(x)的极值点的必要不充分条件反之，f(x)=0的点一定为函数的极值点吗?思考探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?xyOf(x)x3注意：f’(x0)=0是函数在x0取得极值的什么条件？解:).2)(2(42xxxy令,解得x1=-2,x2=2.0y当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y↗极大值28/3↘极小值-4/3↗因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=-4/3.31443yxx例1.求函数的极值题型一：求函数的极值练习1、已知f’(x)图像，找出函数f(x)的极值点个数（1）(2)函数f(x)的定义域为(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内极小值点的个数是________．1322(),=43,fxaxbxcxdbac（3）已知记则当0且a0,f(x)的大致图像为ABCDC练习2．求下列函数的极值（1）函数y=－3＋48x－x3的极大值是,极小值是．y|x=4=125y|x=－4=－13124(2)2yxx22(3)22(4)xyxxyxe...)(.40)(.3)(.2.1'''极小值左负，右正极大值如果左正，右负号在方程根左右的值的符检查列表格的全部实根；求；求导函数确定函数的定义域；xfxfxf求可导函数极值的步骤：1．求函数y=x4－2x2+5在区间[－2，2]上的极值和最值解：先求导数，得y’=4x3－4x,令y’=0即4x3－4x=0，解得x1=－1，x2=0，x3=1.导数y’的正负以及f(－2)，f(2)如下表：x－2(－2,－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2y’－0＋0－0＋y13↘4↗5↘4↗13求函数的最值