正弦定理余弦定理综合应用-解三角形经典例题

课程目标掌握解三角形的题型课程重点正弦定理余弦定理综合应用，解三角形课程难点正弦定理余弦定理综合应用教学方法建议在掌握正余弦定理的前提下，熟悉并掌握解三角形的题型，典型例题与课本知识相结合，精讲精练。复习与总结同时进行，逐步掌握解三角形的方法。选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（3）道（2）道（5）道B类（5）道（4）道（10）道C类（3）道（3）道（5）道一、知识梳理1．内角和定理：在ABC中，ABC；sin()ABsinC；cos()ABcosC面积公式:111sinsinsin222ABCSabCbcAacB在三角形中大边对大角，反之亦然.2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：RCcBbAa2sinsinsin(解三角形的重要工具)形式二：CRcBRbARasin2sin2sin2(边角转化的重要工具)形式三：::sin:sin:sinabcABC形式四：sin,sin,sin222abcABCRRR3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一：2222cosabcbcA2222cosbcacaB(解三角形的重要工具)2222coscababC形式二：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCab二、方法归纳(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=π及sinsinsinabcABC，可求出角C，再求b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinsinabAB，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由sinsinacAC求出C，而通过sinsinabAB求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A90°A=90°A90°ab一解一解一解a=b无解无解一解ababsinA两解无解无解a=bsinA一解absinA无解（见图示）．a=bsinA有一解babsinA有两解a≥b有一解ab有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，若5b，4B,1sin3A，则a.523【例2】在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.【解析】∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解.由正弦定理得sinA=bBasin=245sin3=23,则A为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,c=BCbsinsin=45sin75sin2=45sin)3045sin(2=226.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,c=BCbsinsin=45sin15sin2=45sin)3045sin(2=226.故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=226或A=120°,C=15°,c=226.【思考】从所得到式子看，为什么会有两解：sinA=23,在(0,)上显然有两个解。sinyx在(0,)上的值域为（0,1】，sin1x在(0,)只有2x一解。【适时导练】1.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;（2）△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.【解析】（1）由正弦定理得BbAasinsin.∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b=45sin60sin8sinsinABa=46.（2）由正弦定理得sinC=430sin8sinbBc=1.又∵30°＜C＜150°,∴C=90°.∴A=180°-(B+C)=60°,a=22bc=43.问题二：利用余弦定理解三角形【例3】设ABC的内角CBA、、所对的边分别为cba、、.已知1a，2b，41cosC.（Ⅰ）求ABC的周长；（Ⅱ）求CAcos的值.【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力【解析】（Ⅰ）∵441441cos2222Cabbac∴2c∴ABC的周长为5221cba.（Ⅱ）∵41cosC，∴415411cos1sin22CC，∴8152415sinsincCaA∵ca，∴CA,故A为锐角，∴878151sin1cos22AA∴CAcosCACAsinsincoscos16114158154187.【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin22sincos令2222222coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　【例4】（2010重庆文数）设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且32b+32c-32a=42bc.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos2ABCA的值.【适时导练】2在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且CBcoscos=-cab2.（1）求角B的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC的面积.【解析】（1）由余弦定理知：cosB=acbca2222，cosC=abcba2222.将上式代入CBcoscos=-cab2得:acbca2222·2222cbaab=-cab2整理得:a2+c2-b2=-ac∴cosB=acbca2222=acac2=-21∵B为三角形的内角，∴B=32.（2）将b=13,a+c=4,B=32代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB∴b2=16-2ac211,∴ac=3.∴S△ABC=21acsinB=433.问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例5】（2011山东文数）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA-2cosC2c-a=cosBb．（I）求sinsinCA的值；（II）若cosB=14，ABC的周长为5，求b的长。【解题思路】通过正弦定理将边化成正弦，在通过和角公式进行化简。【解析】（I）由正弦定理，设,sinsinsinabckABC则22sinsin2sinsin,sinsincakCkACAbkBB所以cos2cos2sinsin.cossinACCABB即(cos2cos)sin(2sinsin)cosACBCAB，化简可得sin()2sin().ABBC又ABC，所以sin2sinCA因此sin2.sinCA（II）由sin2sinCA得2.ca由余弦定得及1cos4B得22222222cos14444.bacacBaaaa所以2.ba又5,abc从而1,a因此b=2。【思考】到底“具体什么情况下边化角，什么情况下角化边”【例6】（2009全国卷Ⅰ理）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求b【解题思路】对已知条件(1)222acb左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对已知条件(2)sincos3cossin,ACAC化角化边都可以。【解析】解法一：在ABC中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22abcbcaacabbc化简并整理得：2222()acb.又由已知222acb24bb.解得40(bb或舍）.解法二:由余弦定理得:2222cosacbbcA.又222acb,0b.所以2cos2bcA①又sincos3cossinACAC，sincoscossin4cossinACACACsin()4cossinACAC，即sin4cossinBAC由正弦定理得sinsinbBCc，故4cosbcA②由①，②解得4b.【思考】面对解三角形，可以考虑正弦定理，也可以考虑余弦定理，两种方法只是计算量上的差别。【适时导练】3．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且8sin22BC－2cos2A＝7．（1）求角A的大小；（2）若a＝3，b＋c＝3，求b和c的值．解:（1）∵A＋B＋C＝180°，∴2BC＝90°－2A．∴sin2BC＝cos2A．由8sin22BC－2cos2A＝7，得8cos22A－2cos2A＝7．∴4(1＋cosA)－2(2cos2A－1)＝7，即(2cosA－1)2＝0．∴cosA＝12∵0°＜A＜180°，∴A＝60°．（2）∵a＝3，A＝60°，由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，∴3＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝9－3bc．∴bc＝2．又b＋c＝3，∴b＝1，c＝2或b＝2，c＝1．问题四：三角恒等变形【例7】（08重庆）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求：（Ⅰ）ac的值；（Ⅱ）cotB+cotC的值.【解题思路】求ac的值需要消去角和;b三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系【解析】（Ⅰ）由余弦定理得Abccbacos2222＝222972131231ccccc故7.3ac（Ⅱ）解法一：cotcotBC＝cossincossinsinsinBCCBBC＝sin()sin,sinsinsinsinBCABCBC由正弦定理和（Ⅰ）的结论得227sin12141439··.1sinsinsin9333·3cAaBCAbccc故143cotcot.9BC解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有725372)31(972cos222222cccccacbcaB故2253sin1cos1.2827BB同理可得7213137291972cos222222cccccabcbaC2133sin1cos1.2827CC从而coscos51143cotcot33.sinsin399BCBCBC【思考】在解三角形的背景下一般见“切割化弦”同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：sincostan,cotcossin【适时导练】4.（2009江西卷理）△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，sinsintancoscosABCAB,sin()cosBAC.（1）求,AC；（2）若33ABCS,求,ac.【解析】(1)因为sinsintancoscosABCAB，即sinsinsincoscoscosCABCAB，所以sincossincoscossincossinCACBCACB，即sincoscossincossinsincosCACACBCB，得si