1.2.1任意角的三角函数复习课

金品质•高追求我们让你更放心！◆数学•必修4•(配人教A版)◆三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆1．理解并掌握任意角的三角函数的定义及其表示，能熟练求三角函数的值．2．理解并掌握三角函数线的几何表示，能利用三角函数线确定三角函数值的取值范围或角的取值范围．3．体会单位圆在整个解题过程中的作用．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆基础梳理一、任意角的三角函数1．单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为________．2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合．在直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P(x，y)，则r＝|OP|＝1.那么：(1)y叫做________，记作sinα，即y＝sinα；(2)x叫做________，记作cosα，即x＝cosα；(3)叫做________，记作tanα，即＝tanα(x≠0)．yxyx一、1.单位圆2．(1)α的正弦(2)α的余弦(3)α的正切金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为________．练习1：已知角A的终边与单位圆的交点为P0，求角α的正弦、余弦和正切值．三角函数－35，45解析：由三角函数定义知，sinα＝y＝45，cosα＝x＝－35，tanα＝yx＝－43.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆思考应用1．三角函数的值与点P在终边上的位置有关系吗？解析：利用三角形的相似性可知任意角α的三角函数值只与α有关，而与点P的位置无关．对于α角的终边上任意一点P，设其坐标为(x，y)，点P到原点的距离r＝0.(1)比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝；(2)比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝；(3)比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝.点P在单位圆上是一种特殊情形．x2＋y2yryrxrxryxyx金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆二、三角函数值在各个象限内的符号1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sinα＝，其中r0，于是sinα的符号与y的符号相同，即：当α是第________象限角时，sinα0；当α是第________象限角时，sinα0；cosα＝，其中r0，于是cosα的符号与x的符号相同，即：当α是第________象限角时，cosα0；当α是第________象限角时，cosα0；tanα＝，当x与y同号时，它们的比值为正，当x与y同、异号时，它们的比值为负，即：当α是第________象限角时，tanα0；当α是第________象限角时，tanα0.二、四yrxryx一、二三、四一、四二、三一、三金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sinα＝：上正下负横为0；cosα＝：左负右正纵为0；tanα＝：交叉正负”形象的识记口诀2：“一全正二正弦，三正切四余弦”．练习2：已知角α的终边过点P0(－3，－4)，求角α的正弦、余弦和正切值．yxyrxr解析：∵r＝－32＋－42＝5，∴sinα＝－45，cosα＝－35，tanα＝43.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆思考应用2．你知道形象的识记口诀的意思吗？解析：口诀：“一全二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值________，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(2kπ＋α)＝tanα，(k∈Z)．相等思考应用3．公式一中的角α一定是锐角吗？解析：公式一中的角α为任意角，公式一都成立．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆四、三角函数线1．有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段，它是________、________的．在直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负．2．正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段．有向线段的________表示三角函数值的________，有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________．三角函数线的作法如下：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP，OM就分别是α角的正弦线与余弦线，即MP＝y＝sinα，OM＝x＝cosα.四、1.有长度、有正负2.方向正负长度大小金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与α角的终边(或终边的反向延长线)交于点T，则有向线段AT就是α角的正切线，即AT＝tanα.3．填写下表中三角函数的定义域、值域函数定义域值域y＝sinαy＝cosαy＝tanαR[－1,1]R[－1,1]Rα|α≠π2＋kπ，k∈Z金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆思考应用4．三角函数线有哪些特征？应用三角函数线体现了什么数学思想方法？解析：(1)三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外．(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值．(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面．应用三角函数线解决问题体现了数形结合的思想方法．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆自测自评1．若－α0，则点Q(cosα，sinα)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限π2解析：∵－α0，则cosα0，sinα0，故选D.答案：Dπ2金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆2．已知角α的终边过点P32，12，则cosα＝()A.12B.32C.33D．±12解析：∵点P是单位圆上一点，则cosα＝x＝，故选B.答案：B32，1232金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆3．有下列四个命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不相等；③若sinα0，则α是第一或第二象限角；④若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝.其中，不正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4－xx2＋y2解析：①正确；②不正确；③不正确，例：α＝也成立；④不正确．故选C.答案：Cπ2金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆利用三角函数的定义求三角函数值已知角α的终边过点P(－3,2)，求sinα，cosα，tanα的值．分析：本题考查角α的三角函数值，已知x＝－3，y＝2，先求出r，然后根据三角函数的定义求解．解析：∵x＝－3，y＝2，∴r＝－32＋22＝13，∴sinα＝yr＝213＝21313，cosα＝xr＝－313＝－31313，tanα＝yx＝2－3＝－23.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆跟踪训练1．在平面直角坐标系中，若角α终边经过点P(－3,4)，则cosα的值为()A．－45B．－35C.35D.45解析：∵x＝－3，y＝4，∴r＝－32＋42＝5，∴cosα＝xr＝－35＝－35，故正确答案为B.答案：B金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆2．已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．分析：因为角α的终边是一条射线，故应分两种情况进行讨论．可在直线上取一特殊点转化成例1类似的问题，进而求解．解析：当角α的终边在第一象限时，角α的终边上取点P(1,2)，∵x＝1，y＝2，∴r＝12＋22＝5，∴sinα＝yr＝25＝255，cosα＝xr＝15＝55，tanα＝yx＝21＝2.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆当角α的终边在第三象限时，角α的终边上取点Q(－1，－2)，∵x＝－1，y＝－2，∴r＝－12＋－22＝5，∴sinα＝yr＝－25＝－255，cosα＝xr＝－15＝－55，tanα＝yx＝－2－1＝2.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆应用诱导公式(一)进行化简、求值求下列各三角函数的值：(1)cos(－1050°)；(2)sin.－314π解析：(1)∵－1050°＝－3×360°＋30°，∴－1050°角与30°角的终边相同，∴cos(－1050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos30°＝32；(2)∵－314π＝－4×2π＋π4，∴－314π角与π4角的终边相同，∴sin－314π＝sin－4×2π＋π4＝sinπ4＝22.点评：解答此类问题的方法是先把已知角化归到2kπ＋α，(0≤α2π，k∈Z)的形式，再利用诱导公式(一)化简求值．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆跟踪训练3．求值：cos94π＋tan－116π＝________.解析：∵cos94π＝cos2π＋π4＝22，tan－116π＝tan－2π＋π6＝tanπ6＝33，∴cos94π＋tan－116π＝22＋33.答案：22＋33金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆判断三角函数值的符号问题(1)若角α分别是第二、三、四象限角，则点P(sinα，cosα)分别落在第________、________和________象限．解析：当角α是第二象限角时，sinα0，cosα0，则点P(sinα，cosα)在第四象限；当角α是第三象限角时，sinα0，cosα0，则点P(sinα，cosα)在第三象限；当角α是第四象限角时，sinα0，cosα0，则点P(sinα，cosα)在第二象限．答案：四、三、二金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆(2)依据三角函数线，作出如下四个判断：其中判断正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个①sinπ6＝sin7π6；②cosπ4＝cos－π4；③tanπ8tan3π8；④sin3π5sin4π5.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆∴序号②④判断正确，答案选B.答案：B点评：此类问题的关键在于牢记各象限内的三角函数值的符号，尤其是以弧度制给出角时，判断角所在的象限位置特别重要．解析：在平面直角坐标系中作单位圆，依次作相关角的三角函数线，由图象可知si