高中数学选修2-2课件:1.3-1.3.2-“杨辉三角”与二项式系数的性质

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第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页学习目标:1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系,培养学生的观察力和归纳推理能力.(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用.(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用.(重点)课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[自主预习·探新知]1.杨辉三角的特点(1)在同一行中,每行两端都是__,与这两个1等距离的项的系数_____.(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的__,即________________.1相等和Crn+1=Cr-1n+Crn课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页2.二项式系数的性质(1)对称性:在(a+b)n的展开式中,与___________________的两个二项式系数相等,即C0n=Cnn,C1n=Cn-1n,…,Crn=Cn-rn.(2)增减性与最大值:当k<n+12时,二项式系数是逐渐______的.由对称性知它的后半部分是逐渐______的,且在中间取得最大值.当n是偶数时,中间一项的二项式系数_____取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数________与_________相等,且同时取得最大值.首末两端“等距离”增大减小Cn-12nCn+12n课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页3.各二项式系数的和(1)C0n+C1n+C2n+…+Cnn=____;(2)C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=_______.2n2n-1课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[基础自测]1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.()(2)二项展开式的二项式系数和为C1n+C2n+…+Cnn.()(3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.()课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解析](1)√由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列,故正确.(2)×二项展开式的二项式系数的和应为C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n.(3)×二项式系数最大项不一定是二项式系数最大的项,只有当二项式系数与各项系数相等时,二者才一致.[答案](1)√(2)×(3)×课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页2.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是()A.1B.-1C.215D.315B[令x=1即得各项系数和,∴和为-1.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页3.在(a+b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是()A.第8项B.第7项C.第9项D.第10项C[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页4.(1-x)4的展开式中各项的二项式系数分别是()A.1,4,6,4,1B.1,-4,6,-4,1C.(-1)rCr4(r=0,1,2,3)D.(-1)rCr4(r=0,1,2,3,4)A[杨辉三角第4行的数字即为二项式系数.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[合作探究·攻重难]“杨辉三角”的应用如图1­3­1,在“杨辉三角”中斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,….记其前n项和为Sn,求S19的值.图1­3­1课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[思路探究]由图知,数列中的首项是C22,第2项是C12,第3项是C23,第4项是C13,…,第17项是C210,第18项是C110,第19项是C211.[解]S19=(C22+C12)+(C23+C13)+(C24+C14)+…+(C210+C110)+C211=(C12+C13+C14+…+C110)+(C22+C23+…+C210+C211)=(2+3+4+…+10)+C312=2+10×92+220=274.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析;试验—猜想;结论—证明,要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律,取决于我们的观察能力,观察能力有:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多角度观察.如表所示:课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[跟踪训练]1.将全体正整数排成一个三角形数阵:123456789101112131415……按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页n2-n+62[前n-1行共有正整数[1+2+…+(n-1)]个,即n2-n2个,因此第n行第3个数是全体正整数中第n2-n2+3个,即为n2-n+62.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页求展开式的系数和设(1-2x)2018=a0+a1x+a2x2+…+a2018·x2018(x∈R).(1)求a0+a1+a2+…+a2018的值;(2)求a1+a3+a5+…+a2017的值;(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2018|的值.[思路探究]先观察所求式子与展开式各项的特点,利用赋值法求解.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解](1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2018=(-1)2018=1.①(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2017+a2018=32018.②①-②得2(a1+a3+…+a2017)=1-32018,∴a1+a3+a5+…+a2017=1-320182.(3)∵Tr+1=Cr2018(-2x)r=(-1)r·Cr2018·(2x)r,∴a2k-1<0(k∈N*),a2k>0(k∈N).∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2017|=a0-a1+a2-a3+…-a2017+a2018=32018.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]1.解决二项式系数和问题思维流程.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页2.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.3.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=f1+f-12,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=f1-f-12.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[跟踪训练]2.已知(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求:(1)a0+a1+a2+a3+a4;(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解](1)由(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,令x=1得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,所以a0+a1+a2+a3+a4=1.(2)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=1得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,①令x=-1得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4.②所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0-a1+a2-a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4)=(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页二项式系数性质的应用[探究问题]1.根据杨辉三角的特点,在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等,你可以得到二项式系数的什么性质?[提示]对称性,因为Cmn=Cn-mn,也可以从f(r)=Crn的图象中得到.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页2.计算CknCk-1n,并说明你得到的结论.[提示]CknCk-1n=n-k+1k.当kn+12时,CknCk-1n1,说明二项式系数逐渐增大;同理,当kn+12时,二项式系数逐渐减小.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页3.二项式系数何时取得最大值?[提示]当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项Cn-12n,Cn+12n相等,且同时取得最大值.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页已知f(x)=(3x2+3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.[思路探究]求二项式系数最大的项,利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项;求展开式中系数最大的项,必须将x,y的系数均考虑进去,包括“+”“-”号.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解]令x=1,则二项式各项系数的和为f(1)=(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知,4n-2n=992.∴(2n)2-2n-992=0,∴(2n+31)(2n-32)=0,∴2n=-31(舍去)或2n=32,∴n=5.(1)由于n=5为奇数,∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是T3=C25(x23)3(3x2)2=90x6,T4=C35(x23)2(3x2)3=270x223.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(2)展开式的通项公式为Tr+1=Cr53r·x23(5+2r).假设Tr+1项系数最大,则有Cr53r≥Cr-15·3r-1,r53r≥Cr+15·3r+1,∴5!5-r!r!×3≥5!6-r!r-1!,5!5-r!r!≥5!4-r!r+1!×3,课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页∴3r≥16-r,15-r≥3r+1.∴72≤r≤92,∵r∈N,∴r=4.∴展开式中系数最大的项为T5=C45x23(3x2)4=405x263.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]1.求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式组,解不等式的方法求得.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[跟踪训练]3.(1+2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.[解]T6=C5n(2x)5,T7=C6n(2x)6,依题意有C5n25=C6n·26⇒n=8,∴(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为T5=C48·(2x)4=1120x4.设第r+1项系数最大,则有课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页∵r∈{0,1,2,…,8},∴r=5或r=6.∴系数最大的项为T6=1792x5,T7=1792x6.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[当堂达标·固

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