高中数学选修2-2知识点总结(精华版)

第1页共6页数学选修2-2知识点总结一、导数1．函数的平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念:函数)(xfy在0xx处的瞬时变化率是xxfxxfxyxx)()(limlim0000，则称函数)(xfy在点0x处可导，并把这个极限叫做)(xfy在0x处的导数，记作)(0'xf或0|'xxy，即)(0'xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数函数导函数yc'y0nyx*nN1'nynxxya0,1aa'lnxyaaxye'xyelogayx0,1,0aax1'lnyxalnyx1'yxsinyx'cosyxcosyx'sinyx第2页共6页6、常见的导数和定积分运算公式:若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算'''()()()()fxgxfxgx积的导数运算'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx特别地：''CfxCfx商的导数运算'''2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx特别地：21'()'gxgxgx复合函数的导数xuxyyu微积分基本定理bafxdx（其中'Fxfx）和差的积分运算1212[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx特别地：()()()bbaakfxdxkfxdxk为常数积分的区间可加性()()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxacb其中用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数'()fx②令'()fx0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令'()fx0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2)求函数f(x)的导数'()fx第3页共6页(3)求方程'()fx=0的根(4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(xf在ba,上的极值；⑵将)(xf的各极值与(),()fafb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9．求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限（“以直代曲”的思想）10.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1abdxba1性质5若baxxf,,0)(，则0)(badxxf①推广：1212[()()()]()()()bbbbmmaaaafxfxfxdxfxdxfxdxfx②推广:121()()()()kbccbaaccfxdxfxdxfxdxfxdx11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.(l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；（3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。第4页共6页二、推理与证明知识点13.归纳推理的定义：从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体．．，由个别到一般．．的推理。14.归纳推理的思维过程大致如图：15.归纳推理的特点:①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。16.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊．．到特殊．．的推理。17.类比推理的思维过程18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般．．到特殊．．的推理。19．演绎推理的主要形式：三段论20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。实验、观察概括、推广猜测一般性结论观察、比较联想、类推推测新的结论第5页共6页要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。25.反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确．．．，即所求证命题正确。26常见的“结论词”与“反义词”原结论词反义词原结论词反义词至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在x使不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在x使成立至少有n个至多有n-1个p或qp且q至多有n个至少有n+1个p且qp或q27.反证法的思维方法:正难则反．．．．28.归缪矛盾（1）与已知条件．．．．矛盾:（2）与已有公理、定理、定义．．．．．．．．．．矛盾；（3）自相．．矛盾．29．数学归纳法（只能证明与正整数．．．有关的数学命题）的步骤(1)证明：当n取第一个值．．．．00nnN时命题成立；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1．．．．．时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确奎屯王新敞新疆[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。三、数系的扩充和复数的概念知识点30.复数的概念：形如a+bi．．．．的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部，b叫虚部，数集|,CabiabR叫做复数集。规定：abicdia=c．．．且．b=d．．．，第6页共6页强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。31．数集的关系：0000bZaba实数()复数一般虚数()虚数()纯虚数()32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数biaz，都可以由一个有序实数对),(ba唯一确定。由于有序实数对),(ba与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。34.求复数的模(绝对值)与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数biaz的模(也叫绝对值)记作biaz或。由模的定义可知：22babiaz35.复数的加、减法运算及几何意义①复数的加、减法法则：12zabicdi与z，则12()zzacbdi。注：复数的加、减法运算也可以按向量．．的加、减法来进行。②复数的乘法法则：()()abicdiacbdadbci。③复数的除法法则：2222()()()()abiabicdiacbdbcadicdicdicdicdcd其中cdi叫做实数化因子36.共轭复数:两复数abiabi与互为共轭复数，当0b时，它们叫做共轭虚数。常见的运算规律(1);(2)2,2;zzzzazzbi2222(3);(4);(5)zzzzabzzzzzR41424344(6),1,,1;nnnniiiiii22111(7)1;(8),,112iiiiiiiiii)9(设231i是1的立方虚根，则012，1,,332313nnn