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第十一章计数原理第1讲两个基本计数原理对应学生用书P168考点梳理1．分类加法计数原理完成一件事，有n类办法：在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．【助学·微博】两个原理的联系与区别联系：两个计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事一步到位；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，缺一不可．考点自测1．“海山联合—2012”中俄联合军演在中国青岛海域举行，在某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰、3架飞机；俄方有5艘军舰、2架飞机，若从中、俄两方中各选出2个单位(1架飞机或1艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同)，且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有________种．解析若中方选出一架飞机，则选法有C14C13C25＝120(种)；若俄方选出一架飞机，则选法有C15C12C24＝60(种)．故不同选法共有120＋60＝180(种)．答案1802．(2012·全国大纲卷改编)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________种．解析甲先排在其余4个位置上有C14种方法，剩余元素则进行全排列，有A55种排法，由分步乘法计数原理，得一共有C14A55＝480(种)．答案4803．(2012·广州模拟)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成________个集合．解析C14C13＋C14C12＋C13C12＝26(个)．答案264．(2010·湖南卷改编)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为________．解析若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C34；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C24，由分类计数原理知满足条件的信息个数为1＋C34＋C24＝11.答案115.某电子元件是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有________种．解析法一当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2×2×2×2－1＝15(种)．法二恰有i个焊点脱落的可能情况为Ci4(i＝1,2,3,4)种，由分类计数原理，当电路不通时焊点脱落的可能情况共C14＋C24＋C34＋C44＝15(种)．答案15对应学生用书P168考向一分类加法计数原理【例1】若集合A1、A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，问集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆种数有多少个？解若A1＝∅，则A2＝{a1，a2，a3}；若A1＝{a1}，则A2＝{a2，a3}或{a1，a2，a3}；若A1＝{a2}，则A2＝{a1，a3}或{a1，a2，a3}；若A1＝{a3}，则A2＝{a1，a2}或{a1，a2，a3}；若A1＝{a1，a2}，则A2＝{a3}或{a1，a3}或{a2，a3}或{a1，a2，a3}；若A1＝{a1，a3}，则A2＝{a2}或{a1，a2}或{a2，a3}或{a1，a2，a3}；若A1＝{a2，a3}，则A2＝{a1}或{a1，a2}或{a1，a3}或{a1，a2，a3}；若A1＝{a1，a2，a3}，则A2＝∅或{a1}或{a2}或{a3}或{a1，a2}或{a1，a3}或{a2，a3}或{a1，a2，a3}．故不同的分拆种数为1＋3×2＋3×4＋8＝27.[方法总结]分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．【训练1】如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有多少个？解把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．考向二分步乘法计数原理【例2】如图所示三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中(1)共有多少个三角形？(2)共有多少个平行四边形？解(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形．(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成C2mC2n＋C2nC2k＋C2kC2m个平行四边形．[方法总结]此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”．【训练2】由数字1,2,3,4(1)可组成多少个3位数；(2)可组成多少个没有重复数字的3位数；(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字．解(1)百位数共有4种排法；十位数共有4种排法；个位数共有4种排法，根据分步计数原理共可组成43＝64(个)3位数．(2)百位上共有4种排法；十位上共有3种排法；个位上共有2种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的3位数4×3×2＝24(个)．(3)排出的三位数分别是432、431、421、321，共4个．考向三涂色问题【例3】如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？解法一如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂A有5种涂法；涂B有4种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)．根据分步计数原理共有5×4×3×3＝180(种)涂色方法．法二由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有A35＝60(种)涂法；又D与B、C相邻，因此D有3种涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180(种)涂法．[方法总结]涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分类时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．【训练3】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法数．解法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．法二以S、A、B、C、D顺序分步染色第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．法三按所用颜色种数分类第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A45＋A35＝420(种)．对应学生用书P170热点突破28两个计数原理的综合应用高考对两个计数原理应用的考查，多以填空题的形式出现，考查蕴含在实际问题的解决中，多是两原理结合在一起应用，做好问题转化，分好类与步是关键．【示例】(2012·四川卷改编)方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条．[审题与转化]第一步：以y的系数a的取值为标准进行分类．令a依次取值1,2,3，－2，－3.第二步：在a值确定的情况下，再依次确定c、b2值．[规范解答]第三步：当a＝1时，若c＝0，则b2有4,9两个取值，共2条抛物线；若c≠0，则c有4种取值，b2有两种，共有2×4＝8(条)抛物线；当a＝2时，若c＝0，b2取1,4,9三种取值，共有3条抛物线；若c≠0，c取1时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取－2时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线，c取－3时，b2有3个取值，共有3条抛物线．∴共有3＋2＋2＋3＋3＝13(条)抛物线．同理，a＝－2，－3,3时，共有抛物线3×13＝39(条)．由分类加法计数原理知，共有抛物线39＋13＋8＋2＝62(条)．[反思与回顾]第四步：本题体现了分类讨论思想在计数原理解题中的作用．高考经典题组训练1．(2012·北京卷改编)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为________个．解析三位数可分成两种情况：(1)奇偶奇；(2)偶奇奇．对(1)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(2种选择)，共12种；对(2)，个位(3种选择)，十位(2种选择)，百位(1种选择)，共6种，即12＋6＝18(个)．答案182．(2012·浙江卷改编)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种．解析4个数和为偶数，可分为三类．四个奇数C45，四个偶数C44，二奇二偶，C25C24.共有C45＋C44＋C25C24＝66(种)不同取法．答案663．(2012·课标全国卷改编)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种．解析甲地由1名教师和2名学生：C12C24＝12(种)．答案124．(2011·北京卷)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．解析法一数字2只出现一次的四位数有C14＝4(个)；数字2出现两次的四位数有C24C22＝6(个)；数字2出现三次的四位数有C34＝4(个)．故总共有4＋6＋4＝14(个)．法二由数字2,3组成的四位数共有24＝16(个)，其中没有数字2的四位数只有1个，没有数字3的四位数也只有1个，故符合条件的四位数共有16－2＝14(个)．答案145．(2012·大纲卷改编)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．解析利用分步计数原理，先填写