数学实践与建模课程论文

数学实践与建模课程论文学号姓名：201401521周帅题目来源：题库鱼儿游动耗能分析摘要本文讨论了鱼在水中锯齿状运动时消耗能量的问题。基于运动过程消耗能量最小原则，对比沿水平线运动与沿锯齿状运动两种情况下消耗能量的多少，根据物理学知识，对鱼进行受力分析，建立数学模型并求解，分析鱼沿这两种路线运动时的能量消耗，求出消耗能量最小的运动路线。利用物理学知识，对鱼在水中向上游动和向下滑行作出受力分析，并写出水平运动时的受力情况，同时考虑游动阻力和滑行阻力的倍数关系，写出力以及各个力之间的关系。沿锯齿状运动消耗的能量为向上游动和向下滑行消耗能量之和，由受力分析图知向下滑行不消耗能量，所以沿锯齿状运动时只在向上游动时消耗能量；沿水平游动时消耗的能量为克服阻力做功，由此求出这两种运动方式消耗能量的比值。利用Matlab对比值表达式两边求偏导，得出限制条件，由题意求出当游动阻力与滑行阻力的倍数关系不同时，鱼选择消耗能量最小的运动路线。模型准备鱼在水中的运动并不是水平运动，而是突发性、锯齿状地向上游动和向下滑行。可以认为这是它们消耗能量最小的运动方式。（1）现在假设已知了鱼是以常速v运动，鱼在水中的净重w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分离与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍。水平方向游动时的阻力也是滑行阻力的k倍，写出这些力。（2）证明当鱼要从图1中A点到达处于同一水平线上的B点时，沿折线ACB运动消耗的能量与沿水平线AB运动消耗的能量之比为（假设向下滑行不消耗能量）(ksinα+sinβ)/(ksin（α+β)）。（3）根据实际观察tanα=0.2，试对不同的k值（1.5，2，3），根据消耗能量最小的准则估计最佳的β值。CβαAB图1模型假设与符号说明1模型的假设（1）假设鱼在同一竖直面内发性、锯齿状地向上游动和向下滑行。（2）假设鱼总是以常速运动。（3）假设鱼的重力不变。（4）假设水中环境处处相同。（5）假设鱼在水中所受浮力及游动时所受水的阻力不发生变化。2符号说明l：鱼运动的路程；E：鱼运动消耗的能量；v：鱼在水中的速度，为常数；1f：鱼向下滑行时所受阻力；2f：鱼向上游动时所受水的阻力；：鱼向下滑行时与水平线的夹角；：鱼向上游动时与水平线的夹角；a：鱼向上游动时折线AC的距离；k：鱼游动阻力与滑行阻力的倍数关系；w：鱼在水中所受重力与浮力的合力，即净重；M：鱼沿折线运动消耗的能量与沿水平线运动消耗的能量之比。模型建立由物理学知识知，鱼在水中运动所消耗的能量=鱼所受阻力×运动路程，即E=f（1）图2受力分析模型求解问题一：如图2观察①向下滑行时w沿鱼运动方向的分力与水的阻力大小相等即sin1wf②向上游动时鱼所受阻力为22wf（2）其中sin12kwkff（3）sin2ww（4）③鱼水平游动时所受阻力为sin13kwkff（5）问题二：①向下滑行时游动路程为CBl，由题意知向下滑行不消耗能量因此，鱼消耗能量为01E②向上游动时路程为ACl联立（1）（2）（3）（4）得鱼消耗能量为AClkwE)sinsin(2③水平运动时路程为ABl联立（1）（5）得鱼消耗能量为sin3ABwklE所以鱼沿折线BCA游动所消耗的能量为AClkwEEE)sinsin(21鱼沿直线BA游动所消耗的能量为sin3ABwklE则sin)sinsin(3klklEEMABAC（6）图3解三角形如图3，在ABC中，过C做AB的垂线交AB于D,设alAC（7）sinalCD则sin)sin(sincossincosaaalllDBADAB（8）联立（6）（7）（8）得)sin(sinsinkkM（9）问题三：利用Matlab对（9）式左右两边关于求偏导得0)(sin)sin)(sincos()sin(cos2kkkM即得k1)cos(由2.0tan，当5.1k时，88.36，鱼运动消耗能量最小；当2k时，69.48，鱼运动消耗能量最小；当3k时，22.59，鱼运动消耗能量最小。分析知当的值确定时，k的取值不同，鱼消耗能量最小时的值不同，变化关系如图4所示：图4随k值的变化趋势图模型分析与检验2005中国科技大学对活鱼进行试验，做出了基于序列图像的鱼游运动机理分析。首先经过图像差分得到鱼体轮廓，然后用能量函数自动抽取游动鱼体的体干曲线。在此基础上，通过样条曲线参数拟合进一步得到鱼体游动时体干曲线形变的准确数据和各种运动学参数。为了进一步验证以上模型提出的合理性，我们以黑鳍鲨稳态游动为例，在游动速度为1.1L/s（L为鱼身长）建立了运动学参数模型y=()sin并讨论了模型中鱼体波波长、波动周期T等参数对鱼体游动的影响。通过此模型与以上模型结果的对比来验证模型结果的合理性。对鱼的游动路径及最佳上游角度做进一步分析与验证，从而探索模型的改进方向。模型的推广与改进模型评价：优点：（1）利用物理学受力分析和能量消耗知识使模型的建立简单易懂；（2）模型假设合理，鱼消耗的能量便于计算；（3）分析结果时利用函数图像，使模型结果更加直观。缺点：（1）模型假设过于理想化，忽略了鱼在游动过程中代谢能量的消耗；（2）水中不同位置的浮力大小不同，导致模型结果有一定误差。模型推广：通过对模型的分析知，不需要考虑鱼的体积、自身重量，只需考虑阻力的大小关系建立模型就可求得鱼消耗能量最小的运动路线。因此，该模型还可用于解释其他水生动物在水中沿不同路线运动时的能量消耗关系。参考文献[1]王连堂，数学建模，西安：陕西师范大学出版社，2008.[2]姜启源等,数学模型,北京：高等教育出版社，2003.姜启源．数学模型（第四版）[M]．北京：高等教育出版社，2010．[4]韩中庚．数学建模方法及其应用（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，2009．[5]张杰．运筹学模型及其应用[M]．北京：中国电力出版社，2012.