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学大教育XUEDA．COM解题研究JournalofMathematicalProblemSolving第六期２０１４呼和浩特市学大教育解题研究(本刊由陕西师范大学罗增儒教授题写刊名)顾 问罗增儒 陕西师范大学彭翕成 华中师范大学曹卫军 呼和浩特市学大教育主 编齐建民 呼和浩特市学大教育执行主编宫前长 甘肃省天水市第一中学责任编辑(按姓氏笔画为序)王 耀 江苏苏州田家炳实验高级中学韦兴洲 广西桂林恭城中学冯加明 南京９８５学堂许永忠 山东临沂第二中学李 勇 呼和浩特学大教育何万程 佛山凯尔资讯科技有限公司汪仁林 陕西咸阳乾县杨汉中学张 平 呼和浩特学大教育陈兆华 江苏苏州市教育科学研究院陈泽桐 广州大学数学与信息科学学院郑 良 安徽灵璧第一中学高振敏 呼和浩特学大教育蒋寿义 武汉３６５图书工作室程汉波 广州市第二中学蔡玉书 江苏苏州市第一中学CONTENTS目 录 １．例谈数学解题的直觉与经验———张建强1 ２．圆锥曲线的几个定点问题———何万程4 ３．为什么漏解了———祝益锋7 ４．近年浙江数学考题难题背景分析———张小明 陈朝阳9 ５．一道全国高中数学联赛试题的推广与证明———蔡玉书13 ６．探赛题之妙 赏数学之美———王晋远 许永忠15 ７．一类二元最值问题的通解—配方法———范花妹 秦庆雄19 ８．外森比克不等式的一个加强的加强———李 歆21 ９．对一道经典题目的新思考———蒋明斌22 １０．一道不等式征解题的６种证法———刘再平26 １１．一个不等式的推广———罗 亮30 １２．对一道自主招生试题的解答与评价———林 磊32 １３．探索解题方法自然生成的轨迹———王志进34—１— １４．对一道考试题从特殊到一般的讨论———赵 钊36 １５．“构”平台 “夯”基础 “暴”思维 “促”探究———宫前长40 １６．从面积的角度看向量间关系———刘祥云44 １７．微积分新概念的教学 脚步何妨慢一点———彭翕成46 １８．函数方程不等式三法破解酒杯中的解析几何题———邹生书48 １９．过椭圆外一点作椭圆切线的一种方法———徐文春52 ２０．多法解析一道教师基本功比赛试题———王 耀53 ２１．对一个数学问题及其解答的思考———贺 斌 汤德彩54 ２２．一道经典试题的多角度思考及其推广———范世祥57 ２３．关于解题研究栏目的设置———彭翕成 齐建民60 人物风采封三—２—例谈数学解题的直觉与经验———张建强高考风向标例谈数学解题的直觉与经验张建强 深圳中学 QQ:５１３１９４４０一、引言引题同学们好!欢迎来到深圳中学．这是你们在深中的第一节数学课．数学的核心价值在于发现问题、解决问题,而这两者都离不开直觉和经验．考虑到同学们的实际情况,我想通过对一道题目的分析,着重谈一下“数学解题的直觉和经验”．这道题给大家五分钟思考时间．题目:计算:１０＋１＋１０＋２＋１０＋３＋＋１０＋９９１０－１＋１０－２＋１０－３＋＋１０－９９＝( )．二、解法探索Section １ 找到问题的核心首先,观察本道题的结构,它是一个分式,分子分母是两个有一定规律的很长的式子求和．我们看到,分母只是把分子中的一些加号变成减号,上下具有对称结构,所以,我们初步的打算是:先解决分子怎样求和的问题．直觉１:题目的对称性先研究:１０＋１＋１０＋２＋１０＋３＋＋１０＋９９＝( )．对于有一定规律的式子,经常怎样求和呢?回顾以前的经验,可以回忆起下面两个熟悉的题目:经验１:有规律的长式子求和的两种常见策略(１)１＋２＋３＋＋９９＋１００＝(１＋１００)×５０———配对;(２)１１×２＋１２×３＋＋１９９×１００＝(１１－１２)＋(１２－１３)＋＋(１９９－１１００)＝１－１１００———拆分;可以发现:(１)首尾对应项相加是定值,１＋１００＝２＋９９＝３＋９８＝,都等于１０１,所以,式子的和为５０个１０１．这种求和策略,我们称之为“配对”,经常是首尾对应项相结合．(２)可以用拆分的策略．我们观察到１n(n＋１)＝１n－１n＋１,这样可以造成正负抵消,达到化简的目的．这两个题目分别运用“合”与“分”的策略．那么,回到本节课的问题,大家认为是应该“合”还是应该“分”呢?直觉２:分合的选择如果选择“合”的策略,看起来应该关注类似“１０＋１＋１０＋９９”这样的配对能否化简?如果选择“分”的策略,应该关注类似１０＋９９的式子能否拆开?同学们,你们有过将类似的二重根式开出来的经验吗?Section２ 拆分的探索过程先试一下下面两个问题:经验２:两重根式的开方３＋２２＝１２＋(２)２＋２２＝１＋２,—１—第６期(总第６期)解 题 研 究２０１４年９月２＋３＝４＋２３２＝１２＋(３)２＋２３２＝１＋３２,关键是把根号里面凑成完全平方式(a２＋b２＋２ab＝(a＋b)２)．当然,并不是所有的根式都能开出来,那么,１０＋９９能否这样做呢?大家试一试:１０＋９９＝２０＋２９９２＝９＋１１２．但是,我们马上想到１０＋９８怎么办?１０＋９７怎么办?这时,另一个经验就会帮助我们了．经验３:一般化的策略有时候,我们将问题一般化,更容易发现本质,找到解决策略．上述这些式子,都是１０＋１０２－k的形式．于是,我们发现: １０＋１０２－k＝１０＋１０＋k１０－k＝２０＋２１０＋k１０－k２＝(１０＋k)２＋(１０－k)２＋２１０＋k１０－k２＝１０＋k＋１０－k２．我们真的把它拆开了!一个二重根式拆成了两个二重根式的和．注意,是“和”!而我们知道,只有拆分成“差”,才能消去大量的数字,得到简洁的形式．怎么办?Section３配对与对称的直觉好,有同学再次想到了“配对”的策略．直觉３:再次利用配对将首尾对应项相加,其一般形式为１０＋k＋１０＋１０２－k．现在,我们已经知道,后面的根式可以开出来,于是得到:１０＋k＋１０＋１０２－k＝１０＋k＋１０＋k＋１０－k２＝(２＋１)１０＋k＋１０－k２．很美妙吧!有用吗?大家看,如果这样结合,分子会变成 (２＋１)１０＋１＋１０－１２＋(２＋１)１０＋２＋１０－２２＋＝(２＋１)(１０＋１＋１０＋２＋)＋(１０－１＋１０－２＋)２．更复杂了!怎么办?大家有没有新的直觉?—２—例谈数学解题的直觉与经验———张建强高考风向标直觉４:再次利用对称再次回到题目,关注分子分母的对称性,我们大胆设想:１０＋１＋１０＋９９１０－１＋１０－９９有没有特征呢?如果对于任意自然数k,１０＋k＋１０＋１０２－k１０－k＋１０－１０２－k是一个确定的值m,那么,根据等比性质(若ab＝cd＝m,则a＋cb＋d＝m)就可以知道原式的值也是m了．分析到这里,后面的过程就是水到渠成了．１０＋k＋１０＋１０２－k１０－k＋１０－１０２－k＝１０＋k＋１０＋k＋１０－k２１０－k＋１０＋k－１０－k２＝(２＋１)１０＋k＋１０－k１０＋k＋(２－１)１０－k．你能看出比值是多少吗?注意到１＝(２＋１)(２－１),于是(２＋１)１０＋k＋１×１０－k１０＋k＋(２－１)１０－k＝(２＋１)１０＋k＋(２＋１)(２－１)１０－k１０＋k＋(２－１)１０－k＝２＋１．回到题目,问题解决这里有一个细节,中间项无法配对,可以单独计算１０＋５０１０－５０＝２＋２２－２＝３＋２２＝２＋１．根据等比性质可知,原式＝２＋１．Section４继续思考,再一般化终于做完了!不要着急休息,我们可以继续前行,利用直觉猜测,是不是n＋１＋n＋２＋＋n＋n２－１n－１＋n－２＋＋n－n２－１＝２＋１呢?我们看到,当n＝１０时,就是原题．如果在解题的最初,你就这样大胆设想了,那么,我们就可以有一种新的解题策略:从简单入手!我们可以先试试,当n＝２时,是否２＋１＋２＋２＋２＋３２－１＋２－２＋２－３＝２＋１呢?当你看到,熟悉的２＋３时,是否会灵感突发呢?大家可以课下尝试．三、总结与说明好!这道题就讲到这里．实事求是的讲,这道题目非常困难．我想通过这道题的分析,说明三个观点:一个道理:天才要靠勤奋,直觉来源于经验．也就是说,题不能少做．一个建议:不能搞浅层的题海战术,关键是深入的思考．也就是说,有时候宁可少做题,也要多思考．一个信念:困难总是暂时的,只要你愿意想,办法总会有的．最后,给大家念一首词«忆江南———怎样解题»:“相识否?变形未知数!分解条件走两步,简单入手—３—第６期(总第６期)解 题 研 究２０１４年９月画张图．记得采蘑菇．”本节课的题目基本上是按照这首词的思想解决的．对这首词的详细分析,大家可以在进入深中之后,关注我的专题讲座．如果大家还有什么要求和疑问,可以给我发邮件．希望同学们能够不虚此行,更希望能够与大家一起,给“深中人”这个闪亮的名字增添新的辉煌!谢谢!编者按:本文作者张建强,奥林克匹高级教练员,曾执教于河北省唐山市第一中学,所带学生肖伊康于２０１０年荣获第５１届国际数学奥林匹克竞赛金牌,于２０１３年９月调入深圳中学．本节课是张老师在“深圳中学社会分享课程”上讲的内容,该课程面向深圳的优秀初中生,特别是怀揣深中梦想的学子,时长３０分钟．张老师在设计内容时主要考虑了下面３个因素:(１)学生的需求．学生想要了解深中教师的水平和教学理念,了解与其他同类学校的不同之处;(２)学生的实际水平．他们有根式运算的经验,但是缺少深入思考的机会．(３)个人对解题教学的思考,希望能够让学生学会解题,但他们不会看大部头的教学理论,所以,应该将之结合在实际解题之中．圆锥曲线的几个定点问题何万程引理１ 点(x０,y０)是非退化二次曲线ax２＋bxy＋cy２＋dx＋ey＋f＝０上的一点,则二次曲线ax２＋bxy＋cy２＋dx＋ey＋f＝０与直线y－y０＝k(x－x０)的交点除(x０,y０)外的另一交点是－ax０－by０－d－(２cy０＋e)k＋cx０k２a＋bk＋ck２,－ay０＋(２ax０＋d)k＋(bx０＋cy０＋e)k２a＋bk＋ck２æèçöø÷．证明 把y＝y０＋k(x－x０)代入下式,因式分解,得(ax２＋bxy＋cy２＋dx＋ey＋f)－(ax２０＋bx０y０＋cy２０＋dx０＋ey０＋f)＝(x－x０)((a＋bk＋ck２)x＋ax０＋by０＋d＋(２cy０＋e)k－cx０k２),所以不是交点(x０,y０)外的另一交点横坐标是x＝－ax０－by０－d－(２cy０＋e)k＋cx０k２a＋bk＋ck２,再代入y＝y０＋k(x－x０)求得纵坐标是y＝－ay０＋(２ax０＋d)＋(bx０＋cy０＋e)k２a＋bk＋ck２．类似方法可求得:点(x０,y０)是二次曲线ax２＋bxy＋cy２＋dx＋ey＋f＝０上的一点,则二次曲线ax２＋bxy＋cy２＋dx＋ey＋f＝０与直线x＝x０的交点除(x０,y０)外的另一交点是(x０,－bx０＋cy０＋ec)．定理１ 点A(x０,y０)是非退化二次曲线ax２＋bxy＋cy２＋dx＋ey＋f＝０上的一定点,点B、C是二次曲线ax２＋bxy＋cy２＋dx＋ey＋f＝０