2018届高三数学一轮复习-第二章-函数-第二节-函数的单调性与最值-文

文数课标版第二节函数的单调性与最值1.函数的单调性(1)单调函数的定义教材研读增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有①f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数当x1x2时,都有②f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数图象描述 自左向右看图象是③上升的 自左向右看图象是④下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是⑤增函数或⑥减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)判断函数单调性的方法(i)定义法:利用定义判断.(ii)利用函数的性质:如,若y=f(x)、y=g(x)为增函数,则a.y=f(x)+g(x)为增函数;b.y= 为减函数(f(x)0);c.y= 为增函数(f(x)≥0);d.y=f(x)·g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0);e.y=-f(x)为减函数.1()fx()fx(iii)利用复合函数关系判断单调性法则是“同增异减”,即:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.(iv)图象法(v)导数法2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I,都有⑦f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得⑧f(x0)=M(1)对于任意的x∈I,都有⑨f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得⑩f(x0)=M结论M为函数y=f(x)的最大值M为函数y=f(x)的最小值 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”. (×)(2)函数y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). (×)(3)所有的单调函数都有最值. (×)1x1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 ()A.y=|x|B.y=3-xC.y= D.y=-x2+4答案Ay=3-x在R上递减,y= 在(0,+∞)上递减,y=-x2+4在(0,+∞)上递减,故选A.1x1x2.函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上 ()A.递减B.递增C.先递减后递增D.先递增后递减答案C∵函数y=x2-6x+10的图象为抛物线,且开口向上,对称轴为直线x=3,∴函数y=x2-6x+10在(2,3)上为减函数,在(3,4)上为增函数.3.若函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是.答案 解析因为函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,所以2k+10,即k- .1,2124.若函数f(x)满足“对任意的x1,x2∈R,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)”,则满足f(2x-1)f(1)的实数x的取值范围为.答案(1,+∞)解析由题意知,函数f(x)在定义域内为减函数,∵f(2x-1)f(1),∴2x-11,即x1,∴x的取值范围为(1,+∞).5.已知f(x)= ,x∈[2,6],则f(x)的最大值为,最小值为.答案2; 解析易知函数f(x)= 在x∈[2,6]上为减函数,故f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)= .21x2521x25考点一函数单调性的判断典例1(1)函数y= 的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)判断函数f(x)= (a0)在x∈(-1,1)上的单调性.答案(1)[2,+∞);(-∞,-3]解析(1)令u=x2+x-6,则y= 可以看作是由y= 与u=x2+x-6复合而成的函数.令u=x2+x-6≥0,得x≤-3或x≥2.易知u=x2+x-6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y= 在[0,+∞)上是增函数,∴y= 的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞).26xx21axx26xxuu26xx考点突破(2)任取x1,x2,满足-1x1x21,则f(x1)-f(x2)= - = = .∵-1x1x21,∴x2-x10,x1x2+10,( -1)( -1)0.又∵a0,∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),∴函数f(x)在(-1,1)上为减函数.1211axx2221axx221212122212(1)(1)axxaxaxxaxxx21122212()(1)(1)(1)axxxxxx21x22x易错警示1.利用定义判断函数单调性的步骤取值→作差→变形→确定符号→得出结论注意:函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质,所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊值x1,x2对应的函数值的大小就判断函数在该区间上的单调性,必须保证这两个值是该区间内的任意两个值.2.函数的单调性与“区间”紧密相关,函数的单调区间是函数定义域的子集,所以要求函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.3.由图象确定函数的单调区间需注意:图象不连续且有多个上升段(下降段)的函数,其单调增(减)区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.4.利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定相应各函数的单调性.1-1下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 ()A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=- D.f(x)=-|x|11x答案Cf(x)=3-x在(0,+∞)上为减函数;当x∈ 时,f(x)=x2-3x为减函数,当x∈ 时,f(x)=x2-3x为增函数;f(x)=- 在(0,+∞)上为增函数;f(x)=-|x|在(0,+∞)上为减函数.30,23,211x1-2(2017黑龙江、吉林八校联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且x0时,f(x)=log2(x+1)+3x,则满足f(x)-4的实数x的取值范围是()A.(-2,2)B.(-1,1)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)答案C∵f(x)为定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,当x0时,-x0,f(-x)=log2(-x+1)-3x,f(x)=-f(-x)=-log2(-x+1)+3x(x0),此时函数单调递增,f(-1)=-4.当x≥0时,满足f(x)-4;当x0时,由f(x)-4可得f(x)f(-1),∴x-1,∴-1x0.综上所述,x-1.故选C.考点二函数的最值(值域)典例2(1)函数y=x+ 的最小值为.(2)函数y= 的值域为.(3)函数f(x)= 的最大值为.答案(1)1(2) (3)2解析(1)解法一:令t= ,则t≥0,且x=t2+1,∴原函数变为y=t2+1+t,t≥0.配方得y= + ,1x222231xxxx21,1,2,1xxxx102,31x212t34又∵t≥0,∴y≥ + =1.故函数y=x+ 的最小值为1.解法二:因为函数y=x和y= 在定义域内均为增函数,故函数y=x+ 在[1,+∞)内为增函数,所以ymin=1.(2)y= = =2+ =2+ .∵ + ≥ ,∴22+ ≤2+ = ,14341x1x1x222231xxxx222(1)11xxxx211xx211324x212x3434211324x43103故函数的值域为 .(3)当x≥1时,函数f(x)= 为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.102,31x方法技巧求函数最值的五种常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.(5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.2-1对于任意实数a,b,定义min{a,b}= 函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是.答案1解析依题意,h(x)= 当0x≤2时,h(x)=log2x是增函数,当x2时,h(x)=3-x是减函数,则h(x)max=h(2)=1.,,,.aabbab2log,02,3,2.xxxx2-2(1)求函数y= 的值域.(2)已知- k ,求函数y= 的值域.解析(1)因为y= = =- + ,因为 ≠0,所以y≠- ,所以函数y= 的值域为 .(2)y= = =3- ,因为- k ,所以1≤k2+14,所以-3≤- - ,所以0≤3-  ,所以0≤y .所以函数y= 的值域为125xx332231kk125xx17(25)2225xx127225x7225x12125xx1|2yy2231kk223(1)31kk231k33231k34231k94942231kk .90,41212525252考点三函数单调性的应用命题角度一比较大小典例3已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2x11时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)0恒成立,设a=f ,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为 ()A.cabB.cbaC.acbD.bac答案D解析由f(x)的图象关于直线x=1对称可得f =f .由当x2x11时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上单调递减.∵12 e,∴f(2)f f(e),即f(2)f f(e),∴bac.12222,2,2,2,xaxaxxaxax2,20,2aa3-1若函数f(x)=x2+a|x-2|在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是 ()A.[-4,0]B.[0,4]C.(-∞,-4]D.[0,+∞)答案A∵f(x)=x2+a|x-2|,∴f(x)= 又∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴ 解得-4≤a≤0,即实数a的取值范围是[-4,0].3-2已知函数f(x)=x3+3x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)0恒成立,则实数x的取值范围是.答案 解析易知函数f(x)=x3+3x为奇函数,∴f(mx-2)+f(x)0可化为f(mx-2)f(-x),又函数f(x)单调递增,∴mx-2-x,即mx+x-20,∴ ∴-2x .22,3220,220,xxxx23命题角度二解不等式典例4已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时,x的取值范围是 ()A.(8,+∞)B.(8,9]C.[8,9]D.(0,8)答案B解析2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由题意及f(x)+f(x-8)≤2,可得f[x(x-8)]≤f(9),因为f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,所以有 0,80,(8)9,xxxx解得8x≤9.典例5已知函数f(x)= 满足对任意的实数x1≠x2都有 0成立,则实数a的取值范围为 ()A.(0,1)B. C. D. 答案C解析根据题意知函数f(x)在定义域R上为减函数,则 解得 ≤a .故选C.(31)4,1,log