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3匀速圆周运动第四章抛体运动与圆周运动万有引力定律1.圆周运动各量关系的理解和运用如图4-3-2所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三轮半径关系是rA=rC=2rB.若皮带不打滑，求A、B、C轮边缘的a、b、c三点的角速度之比、线速度之比和向心加速度之比.图4-3-2A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，即：va=vb或va∶vb∶=1∶1由v=ωr得：ωa∶ωb=rB∶rA=1∶2B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相同，即ωb=ωc或ωb∶ωc=1∶1由v=ωr得：vb∶vc=rB∶rC=1∶2所以：ωa∶ωb∶ωc=1∶2∶2va∶vb∶vc=1∶1∶2因为a=vω，所以aa∶ab∶ac=1∶2∶4点评：匀速圆周运动的两种模型：凡是直接用皮带传动(包括链条传动、摩擦传动)的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上(各个轮都绕同一根轴同步转动)的各点角速度相等(轴上的点除外)．(2011届安徽师大附中一模)下列关于运动的描述中，正确的是()A．平抛运动是匀变速运动B．圆周运动是加速度大小不变的运动C．匀速圆周运动的合力是恒力D．匀速圆周运动是速度不变的运动A2.水平面内匀速圆周运动的动力学问题小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析如图4-3-3所示中的θ(小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角)与线速度v、周期T的关系.(小球的半径远小于R.)图4-3-3小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上(不在半球的球心)，向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平.如图所示有：由此可得：可见，θ越大(即轨迹所在平面越高)，v越大，T越小.2224πtansinsinmvmgmRRT，tansinvgR，cos2π.RTg点评：匀速圆周运动的动力学问题是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的应用．这类问题是从力的观点认识匀速圆周运动，解决问题的思维方法是运用匀速圆周运动的向心力公式，按牛顿第二定律列方程解题．这是匀速圆周运动问题的主要内容．如图4-3-4所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动.当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是()A.物体所受弹力增大，摩擦力也增大了B.物体所受弹力增大，摩擦力减小了C.物体所受弹力和摩擦力都减小了D.物体所受弹力增大，摩擦力不变图4-3-4物体随圆筒一起转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力FN和筒壁对它的摩擦力F1(如图所示).其中G和F1是一对平衡力，筒壁对它的弹力FN提供它做匀速圆周运动的向心力.当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起转动而未滑动，则物体所受的(静)摩擦力F1大小等于其重力.而根据向心力公式，FN=mrω2，当角速度ω较大时FN也较大.答案：D3.匀速圆周运动中的多解问题质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图4-3-5所示，周期为T，当P经过图中D点时，有一质量为m的另一质点Q受到力F的作用从静止开始做匀加速直线运动，为使P、Q两质点在某时刻的速度相同，则F的大小应满足什么条件？图4-3-5速度相同包括大小相等和方向相同，由质点P做匀速圆周运动的方向可知，只有当P运动到圆周上的C点时，P、Q速度的方向才相同，即质点P转过(n+3/4)周(n=0、1、2、3……)，经历的时间t=(n+3/4)T(n=0、1、2、3……)，质点P的速率：在相同时间内，质点Q做匀加速直线运动，速度应达到v，由牛顿第二定律及速度公式得：由以上三式得：2π.RvTFvtm，28π(0123)43mRFnnT、、、点评：匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动．由于这两种运动是同时进行的，因此，依据等时性建立等式来解待求量是解答此类问题的基本思路．特别需要提醒同学们注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去．如图4-3-6所示，半径为R的水平圆盘正以中心O为转轴匀速转动，从圆盘中心O的正上方h高处水平抛出一小球，此时半径OB恰与球的初速度方向一致.要使小球只与圆盘碰撞一次，且正好落在B点，则小球的初速度及圆盘的角速度分别为多少？图4-3-6当小球在半径OB恰与初速度方向一致时水平抛出，要使圆盘只碰撞一次，且落点为B，则必须使小球落到B点时，圆盘上的B点也恰好转到该位置(即运动时间相等).设小球的初速度为v，由平抛运动知识得：212hgtRvt由以上两式解得小球的初速度再根据相遇的等时性，小球与圆盘上B点相碰的条件是：2nπ=ωt(n=1、2、3……)所以2gvRh2π2π(123)ngnnth、、易错题：内壁光滑的半球形容器，可绕过球心O的竖直轴O1O2转动，在容器中放一个小物体P(可视为质点)．当容器以某一角速度旋转时，物体P在如图437所示位置恰能保持相对静止．已知半球的半径为R，∠POO2=，求角速度.图43722cossinsinsinsinsinmmgmgmgmgmwrrRgmgmwRwR设物体质量为，重力的一个分力与支持力平衡，另一分力是向心力，所以，式中，即所以【错解】qqqqqq====错解分析：匀速圆周运动的求解，首先应确定圆周运动的平面，找出其圆心位置，确认其半径大小；然后分析物体的受力，其合力即为运动的向心力；而后按题意求解未知量．22tantancssinoPOPFmggrRgmmRm物体随半球形容器做匀速圆周运动，其轨道平面为水平面，圆心为，如图所示，所受合力【正解】为向心力，则有所以qq=¢===点评：错解的第一个认识上的错误是认为重力在垂直于支持面方向上的分力与所受支持力平衡，因为在垂直于支持面的方向上物体是有加速度分量的．错解的第二个认识错误是以mgsin作为物体运动的向心力，需知mgsin的指向不是物体做匀速圆周运动的圆心，因此该力不是向心力．综上所述，求解匀速圆周运动问题，做到四个找准：找准圆面、圆心、半径和向心力，则问题是不难解决的．