2012届总复习-走向清华北大--44空间几何体的表面积与体积

第四十四讲空间几何体的表面积与体积回归课本1.柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和,表面积是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和.2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是展开图的面积.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积S圆柱侧=2πrl,S柱=2πr(r+l);S圆锥侧=πrl,S锥=πr(r+l);S圆台侧=π(r′+r)l,S台=π(r′2+r2+r′l+rl).4.柱、锥、台体的体积V长方体=abc,V正方体=a3,V柱=Sh,V锥=,V台=(S′+S+)h.这是柱体､锥体､台体统一计算公式,特别的圆柱､圆锥､圆台还可以分别写成:V圆柱=πr2h,V圆锥=πr2h,V圆台=πh(r′2+r′r+r2).13Sh13SS13135.球的体积及球的表面积设球的半径为R,V球=πR3,S球=4πR2.43考点陪练2,3,6,.2.32.6.61.ABCD一个长方体有公共顶点的三个面的面积分别是则这个长方体对角线的长是2222,2,3,1:ab,6,3c,,2136.ababcbaccabc解析设长方体的长､宽､高分别为、、由题意不妨设解得所以长方体的对角线长为答案:D2.圆台上、下底面面积分别是π、4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是()23..2337373..63ABCD21122212221121222222221222,1,4,2,()6,:r,r,l,h.lhrr,h213,hV(1122.3,1173()33332).rrrrrrllhrrrr圆台解析设圆台上、下底面半径分别为母线长为高为则解得由得即故答案:D3.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为()882..3332.82.3ABCD3:1,1,RV482,23R3.解析截面圆的半径为又球心到截面距离等于所以球的半径故球的体积答案:B4.(2010·广州一模)如果一个几何体的三视图如下图所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是()A.(80+16)cm2B.96cm2C.(96+16)cm2D.112cm222解析:将几何体还原,如图:该几何体是由边长为4的正方体和一个底面边长为4高为2的正四棱锥构成的,在正四棱锥中,可得22,EG四棱锥的表面积为S1=4××4×正方体除去一个面的表面积为S2=5×42=80,所以此几何体的表面积答案:A1222162,80162.S5.(2010·山东临沂二模)有一个正三棱柱,其三视图如图,则其体积等于()33.3.1..42ABCD解析:由图知该几何体为底面为正三角形的三棱柱,底面三角形高为2,三棱柱的高为故体积为答案:D3,143324.23V类型一棱柱､棱锥､棱台的表面积､体积解题准备:求解有关多面体表面积问题的关键是利用几何图形的性质找到其特征几何图形,从而体现出高、斜高、边长等几何元素间的关系,如棱柱的矩形、棱锥中的直角三角形、棱台中的直角梯形等.1.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为2.解决不规则几何体的问题应注意应用以下方法:(1)几何体的“分割”依据已知几何体的特征,将其分割成若干个易于求体积的几何体,进而求解.(2)几何体的“补形”有时为了计算方便,可将几何体补成易求体积的几何体,如长方体、正方体等.【典例1】如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,若E､F分别为AB､AC的中点,平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1､V2的两部分,那么V1：V2=________.[解析]设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.∵E､F分别为AB､AC的中点,AEF121121.41117SVVShVV:V7(),344125,12:5.ShSSSSShSh[答案]7：5.类型二圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积解题准备:1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积,因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决相关问题的关键.2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高,要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题.【典例2】已知底面半径为,母线长为的圆柱,挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点,下底面为底面的圆锥,求所得几何体的表面积和体积.3cm6cm[解]如图,圆柱一个底面的面积为S底=πr2=π•()2=3π(cm3).圆柱侧面面积为:S柱侧=2π×π(cm2).所挖圆锥的母线长为=3(cm).336623622:S233cm.:SSSS363cm133223(3.6233)锥侧底柱侧锥侧所挖圆锥的侧面面积为则所得几何体的表面积为3:VVVS1266633SS3cm.26263柱锥底底底所得几何体的体积类型三球的表面积、体积解题准备:球的表面积与体积都只与半径R有关,是以R为自变量的函数,一个球的半径给定,它的表面积、体积随之确定,反过来,给定一个球的表面积或体积,这个球的半径也就确定了.【典例3】如图,正三棱锥的高为1,底面边长为内有一个球与它的四个面都相切.求:(1)棱锥的全面积;(2)内切球的表面积与体积.26,22213262,321(2)3.126392.2132(26)9263.2[]1S3SSS92FDPD侧侧全底解底面正三角形的中心到一边的距离为则正三棱锥侧面的斜高为(2)设正三棱锥P—ABC的内切球球心为O,连接OP､OA､OB､OC,而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP—ABC=VO—PAB+VO—PBC+VO—PAC+VO—ABC2ABCP2-ABC111(3223).333113(26)123,322223)23,2323(3223)62,18123223SSrSr(62)(40166)4726176(62V(3S433.V).3rrrr侧全内切球内切球又得类型四由几何体的三视图求几何体的表面积与体积解题准备:已知空间几何体的三视图求表面积､体积是高考考查的热点,对三视图的应用是解题的关键.主要体现在以下两个方面的应用:一是数据的给出,通过三视图的长､宽､高对应出空间几何体的相关长､宽､高,从而求表面积和体积,但是要注意三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应,识图时注意甄别.二是揭示空间几何体的结构特征.包括几何体的形状,平行垂直等结构特征,这些正是数据运算的依据.【典例4】一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m):(1)试画出它的直观图;(2)求它的表面积和体积.[分析]由三视图,正确的画出几何体的直观图,确定几何体中线段的位置关系及数量关系.[解](1)直观图如图所示.(2)解法一:由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1,则AA1EB是正方形,∴AA1=BE=1在Rt△BEB1中,BE=1,EB1=1∴BB1=3,42∴几何体的表面积S=S正方形AA1D1D+2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形ABCD+S矩形A1B1C1D1=1+2××(1+2)×1+1×+1+1×2=7+(m2).∴几何体的体积V=×1×2×1=(m3),∴该几何体的表面积为(7+)m2,体积为m3.12223432232解法二:几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱,其表面积求法同解法一,V直四棱柱D1C1CD—A1B1BA=Sh=×(1+2)×1×1=(m2).∴几何体的表面积为(7+)m2,体积为m3.1232232[反思感悟](1)由三视图画几何体的直观图,掌握“长对正、宽相等,高平齐”的规则,是确定几何体特征的关键.(2)把不规则几何体分割成几个规则几何体或者是补上一部分使之成为规则几何体,是求不规则几何体常用方法.错源一问题考虑不全【典例1】是否存在这样的球,在该球内有距离为3的两个平行截面且截面的面积分别为5π和8π?若存在,求出球面的表面积;若不存在,请说明理由.[错解]假设存在满足题意的球,过圆心与截面的圆心作球的轴截面,如图.圆O是球的大圆,A1B1,A2B2分别是两个平行截面圆的直径,C1,C2分别是两个截面圆的圆心,设两截面圆的半径分别为r1,r2,(r1r2),由题意可得又此方程无解,所以满足题意的球不存在.,,2212r8r52222213,RrRr[剖析]错解只考虑了两个平行截面都在球心同一侧的情形,事实上两个平行截面不一定都在球心的同一侧.[正解]假设存在满足题意的球.(1)如果两个平行截面都在球心的同一侧,则解法同错解.(2)如果两个平行截面在球心两侧,过圆心与截面的圆心作球的轴截面,如图.圆O是球的大圆,A1B1,A2B2分别是两个平行截面圆的直径,C1,C2分别是两个截面圆的圆心,设两截面圆的半径分别为r1,r2(r1r2).由题意可得又解得R2=9,所以球的表面积S=4πR2=36π.综上可得,存在满足题意的球,该球的表面积为36π.,,2212r8r52222213,RrRr错源二对三视图的形成认识不清【典例2】设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m).则该几何体的体积为________m3.[错解]该几何体为三棱锥,底面为腰为4,底为3的等腰三角形,高为2.∴[剖析]把正视图看成三棱锥的一个面造成误解.三视图中的每一个视图都是整个几何体在某一屏幕上的投影,不一定是某个面留下的投影.这类问题不能孤立的分析某一视图.311555523().3222Vm[正解]由三视图可知原几何体是一个三棱锥,由“长对正,宽相等,高平齐”的原则可知三棱锥的高为2,底面三角形的底边长为4,高为3,则所求棱锥的体积为V=×3×4×2=4.[答案]41132技法一等积转化思想方法【典例1】如图,一个三棱柱容器中盛有水,且侧棱AA1=8,若AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点,则当底面ABC水平放置时,液面的高为多少?[解]当AA1B1B水平放置时,纵截面中水的面积占1-所以水的体积与三棱柱体积比为当底面ABC水平放置时,液面高度为8×=6.[方法与技巧]容器中水的体积不会减少,运用等积思想可不用计算体积,而通过体积比进而化为高度比.13,443.434技法二巧解三棱锥的体积【典例2】已知正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直,侧棱长都等于a,如图1,求此三棱锥的体积.[解]解法一:设顶点P在底面ABC上的射影为O,则O为△ABC的中心,连接CO延长交AB于M,连接PM,则CM⊥AB且M为AB的中点.在△ABC中,易求得222PABCABC23RtPMO,P116.3363,31.36OVSPOOMMCACAMaPMMOaa在中所以解法二:转换三棱锥顶点,如图2.因为AP⊥PB⊥PC,所以三棱锥A—PBC的高为PA,底面△PBC为直角三角形.所以VP—ABC=VA—PBC=·S△PBC·AP133211.326aaa解法三:由三棱锥PA⊥PB⊥PC,易联想到以PBC为底面可以补成三棱柱AB′C′-PBC,如图3,它与三棱锥A—PBC的高均为AP,底面为△PBC,易知锥体的体积是与其等底等高的柱体体积的1,3PABCAPBCABCPB3C136V.VVa于是[方法与技巧]该题题目虽小,但其解法涵盖了求解几何体体积常用的几种思维方法.解法一是直接法,它是对应体积公式的通法;解法二是等体积转化法,针对锥体的几何特点,变换顶